Question

Докажите, что при любом натуральном n: а) значение выражения (n+13)^2-(n-12)^2 кратно 25. б) значение выражения ​

Answer 1

Объяснение:

$(n+13)^2-(n-12)^2=(n+13-(n-12))*(n+13+n-12)=\\=(n+13-n+12)*(2n+1)=25*(2n+1).$

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (n+13)^2 - (n-12)^2 кратно 25 для любого натурального числа n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Проверим, что выражение (1+13)^2 - (1-12)^2 кратно 25: (14^2) - (-11^2) = 196 - 121 = 75, что не является кратным 25.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого натурального числа k, (k+13)^2 - (k-12)^2 кратно 25.

Шаг индукции:

Докажем, что для числа k+1, (k+1+13)^2 - (k+1-12)^2 также будет кратно 25.

Раскроем скобки и упростим выражение:

((k+1)+13)^2 - ((k+1)-12)^2 = (k+14)^2 - (k-11)^2 = (k^2 + 28k + 196) - (k^2 - 22k + 121) = k^2 + 28k + 196 - k^2 + 22k - 121 = 50k + 75

Мы видим, что 50k + 75 является кратным 25, так как 50k делится на 25 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n, выражение (n+13)^2 - (n-12)^2 кратно 25.

Значение выражения (n+13)^2

Для значения выражения (n+13)^2, мы просто подставляем n в выражение и вычисляем его. Например, если n = 5, то мы имеем: (5+13)^2 = 18^2 = 324

Значение выражения (n-12)^2

Аналогично, для значения выражения (n-12)^2, мы подставляем n в выражение и вычисляем его. Например, если n = 5, то мы имеем: (5-12)^2 = (-7)^2 = 49