Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (ответ округлите до единиц) : у = 2^х, у=2^-х, у =2 ​

Answer 1

Ответ:

$4-\frac{2}{ln2}$

Объяснение:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = 2^x; y = 2^(-x); y = 2

Решение:

Найдём точки пересечения этих графиков:

1) 2^x = 2^(-x)

x = -x

x = 0; y(0) = 2^0 = 1

2) 2^x = 2

x = 1; y = 2

3) 2^(-x) = 2

x = -1; y = 2

Графики представлены на рисунке.

Две половины нужной площади выделены разной штриховкой.

$S=\int\limits^0_{-1} {(2 - 2^{-x})} \, dx + \int\limits^1_{0} {(2 - 2^x)} \, dx= (2x+\frac{2^{-x}}{ln2} )\bigg |_{-1}^0 + (2x-\frac{2^x}{ln2} )\bigg |_0^1=$

$=0+\frac{2^0}{ln2} -(-2+\frac{2^1}{ln2} )+(2-\frac{2^1}{ln2} )-(0-\frac{2^0}{ln2} )=$

$=\frac{1}{ln2} +2-\frac{2}{ln2} +2-\frac{2}{ln2}+\frac{1}{ln2}=4-\frac{2}{ln2}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми у = 2^x, у = 2^-x и у = 2, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, давайте построим графики этих функций, чтобы увидеть, как они выглядят.

Построение графиков

Для построения графиков у = 2^x, у = 2^-x и у = 2, мы можем использовать математическое программное обеспечение, такое как Python с библиотекой matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)  # Генерируем значения x от -2 до 2
y1 = 2**x  # Функция y = 2^x
y2 = 2**(-x)  # Функция y = 2^(-x)
y3 = np.full_like(x, 2)  # Функция y = 2

plt.plot(x, y1, label='y = 2^x')
plt.plot(x, y2, label='y = 2^-x')
plt.plot(x, y3, label='y = 2')
plt.fill_between(x, np.minimum.reduce([y1, y2, y3]), y3, where=(y3 > np.minimum.reduce([y1, y2])), color='lightblue', alpha=0.3)
plt.fill_between(x, np.minimum.reduce([y1, y2, y3]), np.maximum.reduce([y1, y2]), where=(np.minimum.reduce([y1, y2]) > 0), color='lightblue', alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций и ограничивающей области')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике мы видим, что область, ограниченная кривыми у = 2^x, у = 2^-x и у = 2, выглядит как ограниченная область между этими кривыми и осью x.

Вычисление площади

Для вычисления площади этой области мы можем воспользоваться определенным интегралом. Общая формула для вычисления площади между двумя кривыми задается следующим образом:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]

где \( f(x) \) и \( g(x) \) - функции, ограничивающие область, а \( a \) и \( b \) - точки пересечения кривых.

Для нашего случая:

\[ S = \int_{-1}^{1} |2^x - 2^-x| \, dx \]

Давайте вычислим этот интеграл.

Вычисление интеграла

Для вычисления этого определенного интеграла мы можем использовать математическое программное обеспечение или калькулятор с поддержкой символьных вычислений. Например, воспользуемся Python с библиотекой sympy.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 2x - 2(-x)
S = sp.integrate(abs(f), (x, -1, 1))
S.evalf()  # Округлим результат до единиц

Вычислив этот интеграл, мы получаем площадь ограниченной области, округленную до единиц.