Question

30 БАЛЛОВ! В арифметической прогрессии седьмой член в три раза больше второго члена, а сумма первых шести элементов равна 120. Найдите сумму членов с третьего по тринадцатый включительно..

Answer 1

467,5

Объяснение:

формула n-го члена арифметической прогрессии

                                an=a1+d*(n-1)

a7=a1+6d  a2=a1+d

по условию седьмой член в три раза больше второго члена

                               a1+6d=3(a1+d)    

                          a1+6d=3a1+3d   2a1=3d

                                 a1=3/2d (1)

Сумма n членов прогрессии S=(2a1+d(n-1))*n/2

(2a1+5d)*3=120     2a1+5d=40   с учетом (1)  3d+5d=40  d=5  

подставляем в (1) имеем a1=7,5

сумма 13 членов (2a1+12d)*13/2=(a1+6d)*13

сумма 2 первых 2a1+d

находим разницу, она и будет суммой членов с третьего по тринадцатый включительно

(a1+6d)*13-2a1-d=11a1+77d=11*7,5+77*5=82,5+385=467,5

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а её разность равна d.

Из условия известно, что седьмой член в три раза больше второго члена, то есть a + 6d = 3(a + d). Раскрывая скобки, получаем уравнение 6d = 2a.

Также известно, что сумма первых шести элементов равна 120. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом: S = (n/2)(2a + (n-1)d). Подставляя известные значения, получаем уравнение (6/2)(2a + 5d) = 120, которое можно упростить до 6a + 15d = 120.

Решим систему уравнений: 6d = 2a (1) 6a + 15d = 120 (2)

Умножим уравнение (1) на 3: 18d = 6a (3)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (2): 6a + 15d - 18d = 120 6a - 3d = 120 6a = 120 + 3d 2a = 40 + d (4)

Подставим уравнение (4) в уравнение (1): 6d = 2(40 + d) 6d = 80 + 2d 6d - 2d = 80 4d = 80 d = 20

Подставим найденное значение d в уравнение (4): 2a = 40 + 20 2a = 60 a = 30

Таким образом, первый член арифметической прогрессии a равен 30, а разность d равна 20.

Найдем сумму членов с третьего по тринадцатый включительно. Всего этих членов 11 (13 - 3 + 1 = 11).

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: S = (n/2)(2a + (n-1)d)

Подставим известные значения: S = (11/2)(2*30 + (11-1)20) S = 5.5(60 + 1020) S = 5.5(60 + 200) S = 5.5(260) S = 1430

Таким образом, сумма членов с третьего по тринадцатый включительно равна 1430.