Question

При якому значенні n значення виразів n², 2n+3, 3n+4 і n²+n+7 будуть послідовними членами арефметичної прогресії​

Answer 1

Ответ: n≠0

воспользуемся свойством арифметической прогрессии

n²+n²+n+7=2n+3+3n+4

2n²+n+7=5n+7

2n²-4n=0

n=0 проверяем 0; 3; 4; 7 не является арифметической прогрессией

n=2

последовательность

4; 7; 10; 13

Answer 2

Арефметична прогресія - це послідовність чисел, в якій різниця між двома сусідніми членами є постійною. Давайте розглянемо послідовність виразів n², 2n+3, 3n+4 і n²+n+7.

Для того, щоб ці вирази утворювали арифметичну прогресію, різниця між двома сусідніми членами має бути постійною. Давайте знайдемо різницю між двома сусідніми членами послідовності.

Різниця між першим і другим членом послідовності: (2n+3) - (n²) = 2n + 3 - n².

Різниця між другим і третім членами послідовності: (3n+4) - (2n+3) = 3n + 4 - 2n - 3 = n + 1.

Різниця між третім і четвертим членами послідовності: (n²+n+7) - (3n+4) = n² + n + 7 - 3n - 4 = n² - 2n + 3.

Отже, щоб ці вирази утворювали арифметичну прогресію, різниця між двома сусідніми членами має бути постійною. Значення різниці залежить від коефіцієнтів при n та константних членах у виразах.

Якщо різниця між двома сусідніми членами є постійною, то різниця між різницями має бути рівною нулю. Тобто:

(n + 1) - (2n + 3 - n²) = 0, (n² - 2n + 3) - (n + 1) = 0.

Розв'яжемо ці рівняння для n:

n + 1 - 2n - 3 + n² = 0, n² - 2n + 3 - n - 1 = 0.

Після спрощення отримаємо:

n² - 2n - 2 = 0, n² - 3n + 2 = 0.

Розв'яжемо ці рівняння:

Перше рівняння: n² - 2n - 2 = 0, (n - 2)(n + 1) = 0.

Отримуємо два розв'язки: n - 2 = 0 => n = 2, n + 1 = 0 => n = -1.

Друге рівняння: n² - 3n + 2 = 0, (n - 2)(n - 1) = 0.

Отримуємо два розв'язки: n - 2 = 0 => n = 2, n - 1 = 0 => n = 1.

Отже, при значеннях n = 1 і n = 2 вирази n², 2n+3, 3n+4 і n²+n+7 утворюють послідовні члени арифметичної прогресії.