Question

Сфера задана уравнением (х-3)² + (y+4)² +z² = 25. d) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости 2x+y-z-1=0 и определите взаимное расположение сферы и данной плоскости.​

Answer 1

сфера задается уравнением (х-х₀)²+(у-у₀)²+(z-z₀)²=R²

(х₀;у₀;z₀)- центр сферы, R-ее радиус.

Значит, центр данной сферы О (3; -4; 0), ее радиус 5.

Для вычисления расстояния от точки О(3;-4;0) до плоскости

2x+y-z-1=0 воспользуемся общей формулой

d =  |A*Оx + B*Оy + C*Оz + D|/√(А²+В²+С²)

Подставим в формулу найденную точку О и коэффициенты А, В, С, d из уравнения плоскости, получим

d =  |2*3 + 1*(-4) -1*0 + 10|/√(2²+1² (-1)²)  =I6-4+0+10|/√6=

12/√6=12√6/6=2√6≈4.899

Т.к.  расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность и по отношению к сфере плоскость будет секущей.

Answer 2

Для начала найдем центр сферы, заданной уравнением $(x-3)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 25$. Центр сферы находится в точке с координатами $(3, -4, 0)$.

Теперь рассмотрим плоскость, заданную уравнением $2x + y - z - 1 = 0$. Чтобы найти расстояние от центра сферы до этой плоскости, мы можем использовать следующую формулу:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},$$

где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра сферы, $Ax + By + Cz + D = 0$ - уравнение плоскости.

В нашем случае, $A = 2$, $B = 1$, $C = -1$, $D = -1$, $x_0 = 3$, $y_0 = -4$, $z_0 = 0$. Подставим эти значения в формулу и вычислим расстояние:

$$d = \frac{|2\cdot3 + 1\cdot(-4) + (-1)\cdot0 + (-1)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 4 - 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости $2x + y - z - 1 = 0$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь определим взаимное расположение сферы и данной плоскости. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сфера пересекает плоскость. Если расстояние равно радиусу, то сфера касается плоскости. Если расстояние больше радиуса, то сфера находится выше или ниже плоскости.

В нашем случае, радиус сферы равен $\sqrt{25} = 5$. Расстояние от центра сферы до плоскости равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$. Так как $\frac{\sqrt{6}}{3} < 5$, то сфера пересекает плоскость.

Таким образом, сфера, заданная уравнением $(x-3)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 25$, пересекает плоскость $2x + y - z - 1 = 0$.