Question

Визначте кількість членів геометричноï прогресії (хn) якщо Sn=484 Xn=324, q=3​

Answer 1

Ответ: n = 5

Объяснение:

Дано :

$S_n=484 \\\\ b_n=324 \\\\ \underline{q=3~~~~~~~} \\\\n=?$

Воспользуемся формулами

$1) ~b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$

$2) ~ S_n =\cfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} =\cfrac{b_{n+1}-b_1}{q-1}$

Тогда


$b_n=b_1q^{n-1}=324 \\\\ b_{n+1}=b_n\cdot q= b_1\cdot q^{n-1}\cdot q =b_1\cdot q^{n} \\\\ b_{n+1}=324\cdot 3=972$

Подставим во вторую формулу

$S_n=\cfrac{b_{n+1}-b_1}{q-1} =\cfrac{972-b_1}{3-1} = 484 \\\\ 972-b_1= 968 \\\\ b_1=4$

Теперь когда нам известен первый член геометрической

прогрессии найдем их кол-во

$\displaystyle ~ S_n =\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} =\frac{4\cdot (3^n-1)}{3-1} =484 \\\\\\ 3^n-1= \cfrac{484}{2} \\\\\\ 3^n =242+1 \\\\\\ n = \log _3 243 =5$

Answer 2

Щоб визначити кількість членів геометричної прогресії, ми можемо використати формулу для суми перших n членів геометричної прогресії:

Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q),

де Sn - сума перших n членів прогресії, a - перший член прогресії, q - знаменник прогресії.

У даному випадку, нам дано, що Sn = 484 і Xn = 324, де Sn - сума перших n членів прогресії, а Xn - n-й член прогресії. Також нам дано значення знаменника q = 3.

Ми можемо використати ці значення, щоб знайти a, перший член прогресії:

Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q), 484 = a * (1 - 3^n) / (1 - 3).

Ми також знаємо, що Xn = 324:

Xn = a * q^(n-1), 324 = a * 3^(n-1).

Ми маємо дві рівності з двома невідомими (a і n), тому нам потрібно знайти спільне рішення для цих рівностей.

Один спосіб зробити це - використати метод підстановки. Ми можемо виразити a з однієї рівності і підставити його в іншу рівність:

a = 324 / 3^(n-1).

Тепер підставимо це значення a в першу рівність:

484 = (324 / 3^(n-1)) * (1 - 3^n) / (1 - 3).

Ми можемо спростити цю рівність, помноживши обидві сторони на (1 - 3):

484 * (1 - 3) = 324 * (1 - 3^n). -484 = -324 * (3^n - 1).

Тепер ми можемо поділити обидві сторони на -324:

-484 / -324 = 3^n - 1.

Ми отримуємо:

22 / 27 = 3^n - 1.

Тепер додамо 1 до обох сторін рівності:

22 / 27 + 1 = 3^n.

Ми отримуємо:

49 / 27 = 3^n.

Тепер ми можемо взяти логарифм з обох сторін:

log(49 / 27) = log(3^n).

Використовуючи властивості логарифмів, ми можемо переписати це як:

log(49) - log(27) = n * log(3).

Тепер поділимо обидві сторони на log(3):

(n * log(3)) / log(3) = log(49) / log(3) - log(27) / log(3).

Ми отримуємо:

n = (log(49) - log(27)) / log(3).

За допомогою калькулятора можна обчислити значення n, підставивши відповідні значення логарифмів.