Question

Найпростіші тригонометричні рівняння 2cos (2х+pi/3)-1=0

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб розв'язати дане тригонометричне рівняння, спочатку перепишемо його у загальному вигляді:

2cos(2x + π/3) - 1 = 0

Щоб знайти значення x, спробуємо вирішити це рівняння послідовно за допомогою кількох кроків.

Крок 1: Використання косинуса подвійного кута

Ми можемо скористатися формулою косинуса подвійного кута, щоб спростити це рівняння. Формула виглядає наступним чином:

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Застосовуючи цю формулу, ми можемо переписати наше рівняння:

2cos(2x + π/3) - 1 = 0 2(2cos^2(x + π/6) - 1) - 1 = 0

Крок 2: Заміна змінної

Для спрощення обчислень, замінимо нову змінну:

y = x + π/6

Тоді рівняння стає:

2(2cos^2(y) - 1) - 1 = 0

Крок 3: Розв'язок квадратного рівняння

Застосовуючи косинус до квадратного рівняння, отримуємо:

4cos^2(y) - 2 - 1 = 0 4cos^2(y) - 3 = 0

Крок 4: Розв'язування квадратного рівняння

Тепер ми можемо розв'язати квадратне рівняння. Перенесемо -3 на ліву сторону:

4cos^2(y) = 3

Поділимо обидві сторони на 4:

cos^2(y) = 3/4

Крок 5: Використання тригонометричних тотожностей

Ми можемо скористатися тригонометричними тотожностями, щоб знайти значення cos(y). Одна з таких тотожностей говорить, що:

cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1

Застосуємо цю тотожність до нашого рівняння:

cos^2(y) + sin^2(y) = 1

3/4 + sin^2(y) = 1

sin^2(y) = 1 - 3/4

sin^2(y) = 1/4

Крок 6: Знаходження sin(y)

Знаючи, що sin^2(y) = 1/4, ми можемо знайти sin(y) шляхом взяття квадратного кореня з обох сторін:

sin(y) = ±√(1/4)

sin(y) = ±1/2

Крок 7: Знаходження значень y

Для знаходження значень y, за яких sin(y) = 1/2, ми можемо використовувати обернену тригонометричну функцію синуса:

y = arcsin(1/2)

Також враховуємо, що sin(y) може бути і -1/2:

y = arcsin(-1/2)

Обидва вирази можуть мати кілька рішень в межах від 0 до 2π.

Крок 8: Знаходження значень x

Знаючи значення y, ми можемо знайти значення x, використовуючи заміну, яку ми ввели на кроці 2:

x = y - π/6

Таким чином, ми отримали значення x для рівняння 2cos(2x + π/3) - 1 = 0.

Будь ласка, зверніть увагу, що точні значення x залежатимуть від конкретних значень, які ми отримали для y. Замість того, щоб розраховувати ці значення вручну, ми можемо скористатися комп'ютером або калькулятором для чисельних розрахунків.