Question

Log(2x-2)2+log(x-1)^2 8 Больше или равно 2

Answer 1

Ответ:

$\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{\sqrt[4]{8} } +1\right]$  ∪  $(2;3]$ - решение неравенства .

Объяснение:

Решим неравенство:

$\log{_{(2x-2)}}2 +\log{_{(x-1)^{2} }}8\geq 2$

$\log{_{2(x-1)\)}}2 +\log{_{(x-1)^{2} }}8\geq 2$

Найдем область допустимых значений данного неравенства.

Так как основание логарифма положительное число и не равно единице, то получим систему:

$\left \{\begin{array}{l} 2(x -1) > 0, \\ 2x-2 \neq 1 ,\\(x-1)^{2} > 0, \\ (x-1)^{2} \neq 1 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x -1 > 0, \\ 2x \neq 3 ,\\x\neq 1, \\x-1\neq -1\\ x-1 \neq 1 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x > 1, \\ x \neq 1,5 ,\\x\neq 1, \\x\neq 0\\ x \neq 2 ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x > 1, \\ x \neq 1,5 ,\\x\neq 2 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} 1 < x < 1,5 ,\\ 1,5 < x < 2, \\ x > 2.\end{array} \right.$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и перейдем к основанию 2.

$\dfrac{1}{\log{_2}(2(x-1))} +\dfrac{\log{_2}8}{\log{_2}(x-1)^{2} } -2\geq 0;\\\\\dfrac{1}{\log{_2}2+\log{_2}(x-1)} +\dfrac{3}{2\log{_2}(x-1)} -2\geq 0;\\\\\dfrac{1}{1+\log{_2}(x-1)} +\dfrac{3}{2\log{_2}(x-1)} -2\geq 0;$

Пусть $\log{_2}(x-1)=t$

Тогда неравенство принимает вид:

$\dfrac{1}{1+t} +\dfrac{3}{2t} -2\geq 0;\\\\\dfrac{1}{1+t}^{\backslash2t} +\dfrac{3}{2t} ^{\backslash(t+1}-2^{\backslash2t(t+1)}\geq 0;\\\\\dfrac{2t+3t+3-4t^{2}-4t }{2t(t+1)} \geq 0;\\\\\dfrac{-4t^{2}+t +3}{2t(t+1)} \geq0|\cdot(-1);\\\\\dfrac{4t^{2}-t -3}{2t(t+1)}\leq 0$

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение

$4t^{2} -t-3=0;\\D= (-1)^{2} -4\cdot4\cdot(-3)=1+48=49=7^{2} ;\\\\t{_1}=\dfrac{1-7}{2\cdot4} =-\dfrac{6}{8} =-\dfrac{3}{4} ;\\\\t{_2}=\dfrac{1+7}{2\cdot4} =\dfrac{8}{8} =1.$

Тогда

$4t^{2} -t-3=4(t-1)\left(t+\dfrac{3}{4} \right)=(t-1)(4t+3)$

Тогда неравенство принимает вид

$\dfrac{(4t+3)(t-1) }{2t(t+1)}\leq 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки и определим знак на каждом интервале

( числовая врямая во вложении).

Тогда получим

$-1 < t\leq -\dfrac{3}{4}$                  или          $0 < t\leq 1$

Вернемся к замене и получим

1)

$-1 < \log{_2}(x-1)\leq -\dfrac{3}{4} ;\\\\\dfrac{1}{2} < x-1\leq 2^{-\dfrac{3}{4} } ;\\\\\dfrac{1}{2} < x-1\leq \dfrac{1}{2^{\frac{3}{4} } } ;\\\\\dfrac{1}{2} < x-1\leq \dfrac{1}{\sqrt[4]{8} } ;\\\\\dfrac{1}{2} +1 < x\leq \dfrac{1}{\sqrt[4]{8} } +1;\\\\\dfrac{3}{2} < x\leq \dfrac{1}{\sqrt[4]{8} } +1$

2)

$0 < \log{_2}(x-1)\leq1 ;\\\\1 < x-1\leq 2;\\\\1+1 < x\leq 2+1;\\\\2 < x\leq 3$

Проверим ОДЗ и получим, что   решением неравенства является

х∈ $\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{\sqrt[4]{8} } +1\right]$ ∪ $(2;3]$

Answer 2

Давай разберемся с данной математической выражением поэтапно.

Первое, что мы видим, это два логарифма: log(2x-2)2 и log(x-1)^2. Обрати внимание, что в обоих случаях есть число в верхнем индексе. Это означает, что мы должны возвести результат логарифма в квадрат.

Шаг 1: Вычисление логарифмов

Давай вычислим значения обоих логарифмов:

log(2x-2)2: Здесь мы имеем логарифм с основанием 10, так как основание не указано. Чтобы вычислить значение этого логарифма, мы должны найти число, которое 10 возводит в эту степень, чтобы получить (2x-2)2. Математически, это можно записать как:

10^(log(2x-2)2) = (2x-2)2

log(x-1)^2: Аналогично, здесь мы имеем логарифм с неуказанным основанием, поэтому будем считать его по основанию 10:

10^(log(x-1)^2) = (x-1)^2

Шаг 2: Суммирование логарифмов

Теперь, когда мы вычислили значения логарифмов, давай сложим их:

(2x-2)2 + (x-1)^2 + 8

Шаг 3: Сравнение с 2

Последний шаг - сравнение с числом 2. Задача гласит "больше или равно 2", поэтому нам нужно проверить, является ли результат выражения больше или равным 2.

Если полученное выражение больше или равно 2, то неравенство истинно. Если оно меньше 2, то неравенство ложно.

Теперь у нас есть полное выражение и мы можем вычислить его численное значение и сравнить с 2. Я могу помочь с этим вычислением, если у тебя есть конкретное значение переменной x.