Question

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корни которого равны -3/7 и -1/2

Answer 1

Ответ:

$14x^{2}+13x+3=0$

Объяснение:

$x^{2}+px+q=0;$

$-p=x_{1}+x_{2} \Rightarrow -p=-\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2} \Rightarrow -p=-\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14} \Rightarrow -p=-\dfrac{13}{14} \Rightarrow p=\dfrac{13}{14};$

$q=x_{1} \cdot x_{2} \Rightarrow q=-\dfrac{3}{7} \cdot \bigg (-\dfrac{1}{2} \bigg )=\dfrac{3}{14};$

$x^{2}+\dfrac{13}{14}x+\dfrac{3}{14}=0 \quad \bigg | \cdot 14$

$14x^{2}+13x+3=0;$

Answer 2

Чтобы составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны -3/7 и -1/2, мы можем использовать формулу квадратного уравнения. Общий вид квадратного уравнения выглядит следующим образом:

ax^2 + bx + c = 0

Где a, b и c - это коэффициенты уравнения.

Чтобы найти уравнение с заданными корнями, мы можем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Запишите корни в виде десятичных дробей и упростите их, чтобы получить целые числа. В данном случае, -3/7 можно упростить до -3/7 и -1/2 до -4/8 или -1/2.

Шаг 2: Корни уравнения могут быть найдены с использованием формулы:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Шаг 3: Замените значения корней в формулу и упростите уравнение.

Для корня -3/7:

-3/7 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

-3 = -7b ± √(49b^2 - 28ac)

Для корня -1/2:

-1/2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

-1 = -2b ± √(4b^2 - 8ac)

Шаг 4: Решим систему уравнений, чтобы найти значения a, b и c.

Используя систему уравнений, полученных из Шага 3, можно найти значения a, b и c. Решение этой системы даст нам коэффициенты для искомого квадратного уравнения.

Исключим b из системы уравнений:

-3 = -7b ± √(49b^2 - 28ac) (1) -1 = -2b ± √(4b^2 - 8ac) (2)

Умножим уравнение (1) на 2 и уравнение (2) на 7:

-6 = -14b ± 2√(49b^2 - 28ac) (3) -7 = -14b ± 7√(4b^2 - 8ac) (4)

Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

1 = 5√(4b^2 - 8ac)

Теперь, чтобы получить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, мы можем предположить, что (4b^2 - 8ac) является полным квадратом целого числа. Пусть (4b^2 - 8ac) = k^2, где k - целое число.

Заменим (4b^2 - 8ac) на k^2 в уравнении (1):

1 = 5√k

Очевидно, что k должно быть равно 1. Таким образом, мы имеем:

4b^2 - 8ac = 1

Теперь мы можем подставить значения корней в уравнение, чтобы найти значения a, b и c.

Для корня -3/7:

-3 = -7b ± √(49b^2 - 28ac)

-3 = -7b ± √(49b^2 - 8ac)

Подставим 4b^2 - 8ac = 1:

-3 = -7b ± √(49b^2 - 1)

Также, для корня -1/2:

-1 = -2b ± √(4b^2 - 8ac)

-1 = -2b ± √(4b^2 - 8ac)

Подставим 4b^2 - 8ac = 1:

-1 = -2b ± √(1 - 8ac)

Теперь мы можем решить эти два уравнения, чтобы найти значения a, b и c. Однако, в данном случае, значения a, b и c не могут быть найдены с использованием целых коэффициентов, так как полученные уравнения не имеют рациональных решений.

Таким образом, не существует квадратного уравнения с целыми коэффициентами, корни которого равны -3/7 и -1/2.