Question

Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка y''-2*y'+y=0, y(0)=1,y'(0)=-2

Answer 1

Ответ: y=e^x-3*x*e^x=e^x*(1-3*x).

Объяснение:

Составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²-2*k+1=(k-1)²=0. Его корни действительные и равные: k1=k2=1, поэтому общее решение уравнения имеет вид: yo=C1*e^x+C2*x*e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные. Дифференцируя yo, находим yo'=C1*e^x+C2*e^x+C2*x*e^x. Используя условия y(0)=1 и y'(0)=-2, получаем систему уравнений:

1=С1

-2=С1+С2

Отсюда C1=1 и C2=-3. Поэтому искомое частное решение таково: y=e^x-3*x*e^x.

Answer 2

Для решения задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y''-2*y'+y=0, y(0)=1, y'(0)=-2, мы можем воспользоваться методом характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид r^2 - 2r + 1 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы получаем единственный корень r=1 с кратностью 2.

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид y(x) = (C1 + C2*x)*e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь, используя начальные условия y(0)=1 и y'(0)=-2, мы можем определить конкретные значения постоянных C1 и C2.

Из условия y(0)=1 получаем C1 = 1, а из условия y'(0)=-2 получаем C2 = -3.

Таким образом, частное решение данной задачи Коши имеет вид y(x) = (1 - 3x)*e^x.