Question

Найдите 2 производную функции y=sin4x+2 корень x-1/x

Answer 1

Основные формулы и правила дифференцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Рассмотрим функцию:

$y=\sin4x+2\sqrt{x} -\dfrac{1}{x} =\sin4x+2x^{\frac{1}{2} } -x^{-1}$

Находим первую производную:

$y'=\cos4x\cdot(4x)'+2\cdot\dfrac{1}{2} x^{\frac{1}{2} -1} -(-x^{-1-1})$

$y'=4\cos4x+x^{-\frac{1}{2} } +x^{-2}$

Находим вторую производную:

$y''=4\cdot(-\sin4x)\cdot(4x)'+\left(-\dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}-1 }\right) -2x^{-2-1}$

$y''=-16\sin4x-\dfrac{1}{2} x^{-\frac{3}{2} } -2x^{-3}$

$\boxed{y''=-16\sin4x-\dfrac{1}{2x\sqrt{x} } -\dfrac{2}{x^3}}$

Answer 2

Для начала найдем производную функции \( y = \sin(4x) + 2\sqrt{x} - \frac{1}{x} \).

Нахождение производной функции

1. Производная синуса: По правилу дифференцирования сложной функции \( \frac{d}{dx}[\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \), где \( u = 4x \). Поэтому \( \frac{d}{dx}[\sin(4x)] = \cos(4x) \cdot 4 \).

2. Производная квадратного корня: Производная квадратного корня \( \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

3. Производная обратной функции: Производная обратной функции \( \frac{d}{dx}[\frac{1}{x}] = -\frac{1}{x^2} \).

Теперь найдем производную всей функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}[\sin(4x)] + \frac{d}{dx}[2\sqrt{x}] - \frac{d}{dx}[\frac{1}{x}] \] \[ y' = \cos(4x) \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - (-\frac{1}{x^2}) \] \[ y' = 4\cos(4x) + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} \]

Таким образом, производная функции \( y = \sin(4x) + 2\sqrt{x} - \frac{1}{x} \) равна \[ y' = 4\cos(4x) + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} \].