Question

Добуток третього і дев’ятого елементів геометричної прогресії дорівнює 49, а п’ятий елемент цієї прогресії дорівнює 14.Знайдіть знаменник прогресії, якщо всі її елементи додатні.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Формула n-го члена bₙ=b₁qⁿ⁻¹

Система уравнений:

b₃b₉=49

b₅=14

1) b₁q²·b₁q⁸=49

b₁²q¹⁰=49

(b₁q⁵)²=7²

b₁q⁵=7

b₁q⁵=7

b₁q⁴=14

(b₁q⁵)/(b₁q⁴)=7/14

q=1/2 или q=0,5 - знаменатель прогрессии.

Answer 2

Знайдемо рівняння геометричної прогресії за заданими умовами.

Нехай перший елемент прогресії дорівнює a, а знаменник - q.

Тоді третій елемент прогресії дорівнює a*q^2, дев'ятий елемент - a*q^8, а п'ятий елемент - a*q^4.

За умовою задачі, добуток третього і дев'ятого елементів прогресії дорівнює 49:

a*q^2 * a*q^8 = 49

a^2 * q^10 = 49

Також, п'ятий елемент прогресії дорівнює 14:

a*q^4 = 14

Тепер ми маємо систему рівнянь:

a^2 * q^10 = 49 (1)

a*q^4 = 14 (2)

Розв'яжемо цю систему рівнянь.

Знайдемо значення a з рівняння (2):

a = 14/q^4

Підставимо це значення a в рівняння (1):

(14/q^4)^2 * q^10 = 49

14^2 * q^2 * q^10 = 49 * q^4

196 * q^12 = 49 * q^4

q^12/q^4 = 49/196

q^8 = 1/4

q = (1/4)^(1/8)

q = 1/2

Таким чином, знаменник прогресії дорівнює 1/2.

Відповідь: Знаменник прогресії дорівнює 1/2.