Question

Перший член арифметичної прогресії дорівнює 6, а сума 25 перших членів дорівнює 250. Знайдіть останній член цієї прогресії.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Давайте розглянемо дану арифметичну прогресію. Перший член прогресії дорівнює 6, а сума перших 25 членів дорівнює 250. Нашою метою є знаходження останнього члена цієї прогресії.

Для вирішення цієї задачі нам потрібно використати формулу для суми перших n членів арифметичної прогресії:

S = (n/2)(2a + (n-1)d),

де S - сума перших n членів прогресії, a - перший член прогресії, n - кількість членів прогресії, d - різниця між сусідніми членами прогресії.

В нашому випадку, ми знаємо, що a = 6 і S = 250. Але нам необхідно знайти n та d, щоб використати цю формулу.

Щоб знайти n, ми можемо використати формулу для суми перших n членів прогресії і встановити її рівною 250:

250 = (n/2)(2 * 6 + (n-1)d).

Тепер нам потрібно знайти d. Ми можемо використати формулу для знаходження різниці між сусідніми членами прогресії:

d = (a_n - a_1) / (n - 1),

де a_n - останній член прогресії.

Ми знаємо a_1 = 6 і хочемо знайти a_n. Також нам відомо, що загальна сума перших 25 членів прогресії дорівнює 250, тому ми можемо скористатися цим фактом для знаходження a_n.

250 = (25/2)(2 * 6 + (25-1)d).

Тепер у нас є дві рівняння з двома невідомими (n і d), і ми можемо вирішити їх для знаходження цих значень.

Розглянемо перше рівняння:

250 = (n/2)(2 * 6 + (n-1)d).

Розкриємо дужки:

250 = (n/2)(12 + nd - d).

Далі спростимо це рівняння:

250 = (6n + nd - d^2)/2.

Перемножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися від знаменника:

500 = 6n + nd - d^2.

Поділимо обидві сторони на 2:

250 = 3n + nd/2 - d^2/2.

Тепер розглянемо друге рівняння:

250 = (25/2)(2 * 6 + (25-1)d).

Обчислимо вирази у дужках:

250 = (25/2)(12 + 24d).

Розкриємо дужки:

250 = (25/2)(12 + 24d).

Помножимо обидві сторони на 2, щоб позбутися від знаменника:

500 = 25(12 + 24d).

Розкриємо дужки:

500 = 300 + 600d.

Віднімемо 300 з обох сторін:

200 = 600d.

Поділимо обидві сторони на 600:

1/3 = d.

Тепер ми знаємо, що d = 1/3. Підставимо це значення d у перше рівняння і розв'яжемо його:

250 = 3n + nd/2 - d^2/2.

250 = 3n + (1/3)n/2 - (1/3)^2/2.

250 = 3n + n/6 - 1/18.

Знайдемо спільний знаменник:

250 = (18 * 3n + 18 * (n/6) - 18 * (1/18))/18.

250 = (54n + 3n - 1)/18.

Помножимо обидві сторони на 18:

4500 = 54n + 3n - 1.

Додамо 1 до обох сторін:

4501 = 57n.

Розділимо обидві сторони на 57:

n = 4501/57.

Обчислимо цю дробову частку:

n ≈ 78.89.

Отже, n ≈ 78.89. Оскільки n повинно бути цілим числом (кількість членів прогресії), ми можемо округлити n до найближчого цілого числа. Тому n = 79.

Тепер, коли ми знаємо значення n, ми можемо знайти останній член прогресії (a_n). Ми можемо використати формулу для знаходження різниці між сусідніми членами прогресії:

d = (a_n - a_1) / (n - 1).

Підставимо відомі значення:

1/3 = (a_n - 6) / (79 - 1).

Спростимо рівняння:

1/3 = (a_n - 6) / 78.

Помножимо обидві сторони на 78:

78/3 = a_n - 6.

26 = a_n - 6.

Додамо 6 до обох сторін:

a_n = 32.

Отже, останній член цієї арифметичної прогресії дорівнює 32.