Question

Sin п/3 cos3x-cos п/3sin3x≥1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-\frac{\pi }{18} +\frac{2}{3}\pi n ~~ ; ~ n \in \mathbb Z$

Объяснение:

$></p> <p>Заметим , что  можно применить формулу <img src=$

Тогда

$\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos 3x - \cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin3x \geqslant 1 \\\\ \sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos 3x - \sin3x \cdot \cos \frac{\pi }{3} \geqslant 1 \\\\ \sin \left (\frac{\pi }{3} -3x \right) \geqslant 1 \\\\ -\sin \left( 3x -\frac{\pi }{3} \right) \geqslant 1 \\\\ \sin \left( 3x -\frac{\pi }{3} \right) \leqslant -1$

Т.к область значения функции $y = \sin x$  находиться в промежутке

y ∈ [ -1  ; 1 ]

То данное неравенство будет выполняться ,  только тогда когда
будет выполняться равенство

( т.к функция  $y = \sin x$ меньшее -1  )

$\displaystyle \sin \left (3x-\frac{\pi }{3} \right) = -1 \\\\ 3x-\frac{\pi }{3} = -\cfrac{\pi }{2}+2\pi n \\\\ 3x=-\cfrac{\pi }{6} +2 \pi n \\\\\ \boxed{x=-\frac{\pi }{18} +\frac{2}{3}\pi n ~~ ; ~ n \in \mathbb Z}$

Answer 2

Для начала, мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(α)cos(β) = 1/2(sin(α+β) + sin(α-β)) чтобы преобразовать выражение:

sin(π/3)cos(3x) - cos(π/3)sin(3x) = 1/2(sin(π/3 + 3x) + sin(π/3 - 3x)).

Теперь у нас есть:

1/2(sin(π/3 + 3x) + sin(π/3 - 3x)) ≥ 1.

Заметим, что sin(π/3 + 3x) и sin(π/3 - 3x) принимают значения от -1 до 1, поэтому их сумма будет в интервале от -2 до 2. Домножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от делителя:

sin(π/3 + 3x) + sin(π/3 - 3x) ≥ 2.

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(α) + sin(β) = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) чтобы упростить выражение:

2sin(π/3)cos(3x) ≥ 2.

sin(π/3) = √3/2, так что:

√3cos(3x) ≥ 1.

Теперь мы можем разделить обе стороны на √3:

cos(3x) ≥ 1/√3.

Так как косинус является убывающей функцией на интервале от 0 до π, то наименьшее значение косинуса равно 1, когда угол равен 0. Поэтому:

3x ≥ π/6.

x ≥ π/18.

Таким образом, условие sin(π/3)cos(3x) - cos(π/3)sin(3x) ≥ 1 выполняется, когда x ≥ π/18.