Question

ДАЮ 100 БАЛІВ!!!! Дослідіть функцію і побудуйте її графік. f(x)=4+5x-x²

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Дослідіть функцію і побудуйте її графік; f(x)=4+5x-x²;

Дана функция f(х) = 4 + 5х - х²;

                                          ↓

                          f(х) = -х² + 5х + 4;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола со смещённым центром; ветви направлены вниз.

1) Построить график.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

            Таблица:

х  -2     -1     0     1      2     3     4     5     6     7

у -10     -2    4     8    10    10    8     4    -2    -10

По вычисленным точкам построить параболу.

2) D(у) - область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.

Запись: D(у) = х∈R, или D(у) = х∈(-∞; +∞).

3) Е(у) - область значений параболы - определяется значением ординаты вершины (у₀).

f(х) = -х² + 5х + 4;

х₀ = -b/2a;

x₀ = -5/-2

x₀ = 2,5;

y₀ = -(2,5)² + 5 * 2,5 + 4 = -6,25 + 12,5 + 4 = 10,25;

y₀ = 10,25;

Е(у) = y∈(-∞; 10,25].

4) Найти нули функции;

Нули функции - значения х (абсциссы) точек, в которых парабола пересекает ось Ох. В этих точках у = 0.

Приравнять уравнение к нулю и решить квадратное уравнение:

-х² + 5х + 4 = 0/-1

x² - 5x - 4 = 0

D=b²-4ac = 25 + 16 = 41        √D=√41

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(5-√41)/2

х₁= 2,5 - √41/2 ≈ -0,7;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(5+√41)/2

х₂= 2,5 + √41/2 ≈ 5,7;

5) Найти промежутки знакопостоянства;

Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный).

f(х) > 0 (график выше оси Ох) при x∈(2,5-√41/2; 2,5+√41/2);

f(х) < 0 (график ниже оси Ох) при x∈(-∞; 2,5-√41/2)∪(2,5+√41/2; +∞).

6) Найти промежутки монотонности;

Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Функция возрастает на промежутке х∈(-∞; 2,5);

Функция убывает на промежутке х∈(2,5; +∞).

7) Функция общего вида. Не является ни чётной, ни нечётной.

8) f(x) max. = 10,25;

f(x) min. не существует.

Answer 2

Щиро дякую за запит! Буду радий допомогти вам з дослідженням функції та побудовою її графіка. Давайте розглянемо функцію f(x) = 4 + 5x - x² крок за кроком.

Крок 1: Знайти вершину параболи

Функція f(x) = -x² + 5x + 4 є квадратичною функцією з від'ємним коефіцієнтом при члені з квадратом x. Щоб знайти вершину параболи, використаємо формулу x = -b / (2a), де a = -1 і b = 5.

x = -5 / (2*(-1)) x = -5 / -2 x = 2.5

Щоб знайти відповідне значення y, підставимо x = 2.5 у функцію f(x):

f(2.5) = -2.5² + 5*2.5 + 4 f(2.5) = -6.25 + 12.5 + 4 f(2.5) = 10.25

Отже, вершина параболи знаходиться в точці (2.5, 10.25).

Крок 2: Знайти вісь симетрії

Вісь симетрії параболи є вертикальна пряма, що проходить через вершину параболи. У нашому випадку, вісь симетрії буде мати рівняння x = 2.5.

Крок 3: Знайти точки перетину з віссю Ox та Oy

Щоб знайти точки перетину з віссю Ox, розв'язуємо рівняння f(x) = 0:

-2.5² + 5*2.5 + 4 = 0 6.25 + 12.5 + 4 = 0 22.75 = 0

Отже, парабола не перетинає вісь Ox.

Точка перетину з віссю Oy відбувається при x = 0:

f(0) = -0² + 5*0 + 4 f(0) = 4

Таким чином, парабола перетинає вісь Oy у точці (0, 4).

Крок 4: Побудова графіка

Тепер, коли ми знайшли вершину, вісь симетрії та точки перетину з віссю Ox та Oy, ми можемо побудувати графік функції f(x) = -x² + 5x + 4.

Згідно зі знайденими значеннями, ми маємо: - Вершина параболи: (2.5, 10.25) - Вісь симетрії: x = 2.5 - Точка перетину з віссю Oy: (0, 4)

Будування графіка параболи може вимагати використання графічного редактора або математичного програмного забезпечення. Якщо ви маєте доступ до такого програмного забезпечення, ви можете ввести функцію f(x) = -x² + 5x + 4 та побудувати графік за допомогою цього інструменту.