Question

Розв'яжіть рівняння 2|x+1|-5|=3

Answer 1

$\displaystyle 2|x+1|-5=3\\2|x+1|=3+5\\2|x+1|=8\\|x+1|=4\\x+1=4,x+1=-4\\x_1=-5,x_2=3$

Answer 2

Для розв'язання рівняння $|2|x + 1| - 5| = 3$, спочатку потрібно розглянути модульні вирази. Рівняння з модулем можна розв'язати, розглядаючи різні випадки, які виникають з огляду на властивості модуля.

1. Спочатку розглянемо внутрішній модуль $|x + 1|$. Для цього випадку ми розглянемо два сценарії:

   a) $x + 1 \geq 0$, тобто $x \geq -1$. У цьому випадку $|x + 1| = x + 1$.

   b) $x + 1 < 0$, тобто $x < -1$. У цьому випадку $|x + 1| = -(x + 1)$.

2. Після цього ми підставимо ці вирази у зовнішній модуль і розв'яжемо отримані рівняння.

3. Для кожного випадку рівняння з зовнішнім модулем також розглядається у двох сценаріях:

   a) Вираз всередині модуля є невід'ємним.

   b) Вираз всередині модуля є від'ємним.

4. Нарешті, отримані рішення потрібно перевірити, чи вони відповідають первісному рівнянню, оскільки при роботі з модулями можуть виникнути надлишкові рішення.

Давайте розглянемо ці кроки детальніше.

Випадок 1: $x \geq -1$

1. Підставляємо $x + 1$ замість $|x + 1|$:

   $|2(x + 1) - 5| = 3$

   $|2x + 2 - 5| = 3$

   $|2x - 3| = 3$

2. Розглядаємо два сценарії:

   a) $2x - 3 \geq 0$: Тоді $2x - 3 = 3$.

   b) $2x - 3 < 0$: Тоді $-(2x - 3) = 3$.

Випадок 2: $x < -1$

1. Підставляємо $-(x + 1)$ замість $|x + 1|$:

   $|2(-x - 1) - 5| = 3$

   $|-2x - 2 - 5| = 3$

   $|-2x - 7| = 3$

2. Розглядаємо два сценарії:

   a) $-2x - 7 \geq 0$: Тоді $-2x - 7 = 3$.

   b) $-2x - 7 < 0$: Тоді $-(-2x - 7) = 3$.

Давайте тепер розв'яжемо ці чотири отримані рівняння.