Question

Докажите: sin x + sin 3x+ sin5x + sin7x= 4cos x cos 2 x sin 4xСРОЧНО ​

Answer 1

Sina*cosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))
4cos x cos 2 x sin 4x= 2 cos2x(sin5x+sin3x)=2sin5xcos2x+2sin3xcos2x=
=sin7x+sin3x+sin5x+sinx
тождество доказано

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение поэтапно.

1. Раскроем правую часть уравнения:

   4cos(x)cos(2x)sin(4x) = 2(2cos(x)cos(2x))sin(4x)

   Используя тригонометрические формулы, можем заменить 2cos(x)cos(2x) на cos(3x) + cos(x):

   2(2cos(x)cos(2x))sin(4x) = 2(cos(3x) + cos(x))sin(4x)

   Теперь раскроем произведение синуса и суммы косинусов:

   2(cos(3x) + cos(x))sin(4x) = 2cos(3x)sin(4x) + 2cos(x)sin(4x)

   Используем формулу синуса двойного угла, чтобы заменить sin(4x):

   2cos(3x)sin(4x) + 2cos(x)sin(4x) = sin(7x) + sin(x)

   Таким образом, правая часть уравнения равна sin(7x) + sin(x).

2. Полученное выражение для правой части совпадает с левой частью уравнения.

   Исходное уравнение: sin(x) + sin(3x) + sin(5x) + sin(7x) = sin(7x) + sin(x)

   Мы показали, что правая часть равна sin(7x) + sin(x), что соответствует левой части уравнения.

   Таким образом, мы доказали, что sin(x) + sin(3x) + sin(5x) + sin(7x) = 4cos(x)cos(2x)sin(4x).

   Ответ: Доказано.