Question

Докажите что разности квадратов двух нечетных чисел делится на 8

Answer 1

Ответ:Мы докажем так: (2n+1)^2-(2m+1)^2=(2n+1-2m-1)(2n+1+2m+1)=(2n-2m)(2n+2m+2)=4(n-m)(n+m+1) Если n и m одинаковой четности, то n-m делится на 2; если n и m разной четности, то n+m+1 делится на 2. В любом случае выражение делится на 8.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

(2k+1)²-(2n+1)²=(2k+2n+2)(2k-2n)=4(k-n)(k+n+1)

k , n четно тогда k-n четно (k-n)(n+k+1) четно

k,n нечетно тогда k-n четно

одно из чисел четно, тогда четно ( n+k+1)

произведение (k-n)(n+k+1) четно

разность квадратов нечетных чисел делится на 8

Answer 3

Давайте рассмотрим два нечетных числа, представленных как (2a + 1) и (2b + 1), где a и b - целые числа.

Тогда разность их квадратов будет: (2a + 1)^2 - (2b + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 - (4b^2 + 4b + 1) = 4a^2 + 4a + 1 - 4b^2 - 4b - 1 = 4(a^2 - b^2) + 4(a - b) = 4(a - b)(a + b) + 4(a - b)

Заметим, что каждое из чисел (a - b) и (a + b) будет четным, так как разность и сумма двух нечетных чисел всегда четна.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если (a - b) делится на 2, то разность квадратов будет делиться на 8, так как будет иметь множитель 4.
2. Если (a - b) не делится на 2, то (a - b) будет иметь вид (2c + 1), где c - целое число. В этом случае разность квадратов будет: 4(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 4(2c + 1)(a + b) + 4(2c + 1) = 8c(a + b) + 4(a + b) + 4 = 4(2c(a + b) + (a + b) + 1)

Мы видим, что разность квадратов также делится на 8, так как имеет множитель 4.

Таким образом, мы показали, что разность квадратов двух нечетных чисел всегда делится на 8, независимо от значений a и b.