Question

Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = ( 1-x²) (x-1) відрізку [0;2]

Answer 1

Находим производную функции

(1-x^2)+(x-1)(-2x)=1-x^2-2x^2+2x=-3x^2+2x+1

находим нули

3x^2-2x-1=0

x=(1+-2)/3

x1=1

x2=-1/3 не входит в интервал

f(1)=0  максимум

f(0)=-1

f(2)=(1-4)(2-1)=-3 минимум

Answer 2

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = (1 - x²)(x - 1) на відрізку [0;2], спочатку знайдемо критичні точки функції всередині цього відрізка. Критичні точки можуть бути знайдені за допомогою пошуку похідної функції і прирівняння до нуля.

1. Обчислимо похідну функції f(x): f'(x) = -2x(x - 1) - (1 - x²)

2. Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо критичні точки: -2x(x - 1) - (1 - x²) = 0

Розкриваємо дужки: -2x² + 2x - 1 + x² - 1 = 0

Спрощуємо: -x² + 2x - 2 = 0

3. Розв'яжемо квадратне рівняння: x² - 2x + 2 = 0

Застосовуємо квадратну формулу: x = (-(-2) ± √((-2)² - 4(1)(2))) / (2(1))

x = (2 ± √(4 - 8)) / 2 x = (2 ± √(-4)) / 2

Значення під коренем є від'ємним, тому рівняння не має розв'язків на відрізку [0;2]. Отже, критичних точок всередині відрізку немає.

4. Залишається обчислити значення функції на кінцях відрізку [0;2]: f(0) = (1 - 0²)(0 - 1) = 1 * (-1) = -1 f(2) = (1 - 2²)(2 - 1) = (-3) * 1 = -3

Отже, найбільше значення функції на відрізку [0;2] дорівнює -1, а найменше значення дорівнює -3.