Question

Найдите точки экстремума функции f(x) = 4 + 2x^2- 0,25x^4

Answer 1

Ответ:
Смотри фото

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 4 + 2x^2 - 0.25x^4 необходимо вычислить её производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.

1. Вычисление производной функции: f'(x) = d/dx (4 + 2x^2 - 0.25x^4) = 0 + 4x - 1x^3 = 4x - x^3.

2. Нахождение точек, где производная равна нулю: 4x - x^3 = 0.

Выражение 4x - x^3 можно факторизовать: x(4 - x^2) = 0.

Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 0 и 4 - x^2 = 0.

Для решения второго уравнения найдём значения x, при которых 4 - x^2 = 0: x^2 = 4, x = ±√4, x = ±2.

Итак, у нас есть три критические точки: x = 0, x = 2 и x = -2.

3. Определение типов экстремумов: Для определения типов экстремумов проанализируем вторую производную f''(x).

f''(x) = d/dx (4x - x^3) = 4 - 3x^2.

Подставим найденные критические точки во вторую производную:

• Для x = 0: f''(0) = 4 - 3(0)^2 = 4 > 0. Значит, у точки x = 0 есть локальный минимум.
• Для x = 2: f''(2) = 4 - 3(2)^2 = -8 < 0. Значит, у точки x = 2 есть локальный максимум.
• Для x = -2: f''(-2) = 4 - 3(-2)^2 = -8 < 0. Значит, у точки x = -2 есть локальный максимум.

Таким образом, функция f(x) = 4 + 2x^2 - 0.25x^4 имеет следующие точки экстремума:

• локальный минимум при x = 0,
• локальный максимум при x = 2,
• локальный максимум при x = -2.