Question

Будь-ласка! Чотири цілі числа у результаті ділення на 5 дають різні остачі. Доведіть, що сума цих чисел ділиться націло на 5.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Остаток всегда должен быть меньше делителя. А так как даны 4 целых числа, при делении которых на 5 получаются разные остатки:

1, 2, 3, 4, которые меньше 5. Но при сложении полученных частных, а также их остатков: 1+2+3+4=5, получаем остаток, равный 5, что противоречит правилу. Значит, при сложении целых чисел, сумма которых будет всегда делится на 5.

Answer 2

Припустимо, що чотири цілих числа, які дають різні остачі при діленні на 5, позначимо їх як a, b, c і d. Тобто, остачі від ділення цих чисел на 5 є різними:

a ≡ r₁ (mod 5), b ≡ r₂ (mod 5), c ≡ r₃ (mod 5), d ≡ r₄ (mod 5),

де r₁, r₂, r₃ і r₄ - різні остачі (0, 1, 2, 3 або 4).

Ми хочемо довести, що сума цих чисел (a + b + c + d) ділиться націло на 5.

Ми можемо записати суму цих чисел як:

(a + b + c + d) = 5k + r₁ + 5m + r₂ + 5n + r₃ + 5p + r₄,

де k, m, n і p - цілі числа.

Тепер згрупуємо остачі разом:

(a + b + c + d) = 5(k + m + n + p) + (r₁ + r₂ + r₃ + r₄).

Так як r₁, r₂, r₃ і r₄ - різні остачі (0, 1, 2, 3 або 4), їхня сума також буде різною від 0. Отже, ми можемо записати:

r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = s,

де s - сума остач.

Таким чином, ми отримуємо:

(a + b + c + d) = 5(k + m + n + p) + s.

Оскільки кожен елемент s ділиться націло на 5 (за умовою), то сума остач також ділиться націло на 5.

Отже, ми довели, що сума чотирьох цілих чисел, що дають різні остачі при діленні на 5, ділиться націло на 5.