Question

Cоставить уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)=2x³ - 3x² - 4 в точке с абсциссой -1

Answer 1

Уравнение касательной в общем виде :

$\displaystyle\bf\\y=f(x_{0} )+f'(x_{0} )\cdot(x-x_{0} )\\\\\\f(x)=2x^{3} -3x^{2} -4 \ \ \ , \ \ \ x_{0}=-1$

Найдём значение функции в точке x₀ :

$\displaystyle\bf\\f(x_{0} )=f(-1)=2\cdot(-1)^{3} -3\cdot(-1)^{2} -4=-2-3-4=-9$

Найдём производную :

$\displaystyle\bf\\f'(x)=2\cdot(x^{3})'-3\cdot(x^{2} )'-4'=2\cdot 3x^{2} -3\cdot 2x-0=6x^{2} -6x$

Найдём значение производной в точке x₀ :

$\displaystyle\bf\\f'(x_{0})=f'(-1)=6\cdot (-1)^{2} -6\cdot(-1)=6+6=12$

Составим уравнение касательной :

$\displaystyle\bf\\y=-9+12\cdot(x+1)=-9+12x+12=12x+3\\\\Otvet \ : \ \boxed{y=12x+3}$

Answer 2

Ответ:

$y_{ kac} = 12x + 3$

Объяснение:

Точка с абсциссой -1 - это такая точка принадлежащая графику функции, координата х которой равна -1.

Уравнение касательной к графику функции в точке х0 имеет следующий общий вид:

$y_{ kac} =f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

Вычислим касательную для функции

$f(x)= 2x^3-3x^2-4$

в точке

$x_0=-1$

А координаты точки касания будут такие:

$\big(x_0;f(x_0) \big)$

1) Найдем ординату точки касания, т.е. значение f(x) для данной точки.

$x_0=-1 \\ f( - 1) = 2 \cdot( - 1)^3-3 \cdot( - 1)^2-4 = \\ = - 2 -3 - 4 = - 9$

т.е. точка касания будет с координатами

(-1; -9)

2) Вычислим $f'(x_0)$

a) f'(x)

$f'(x) = (2x^3-3x^2-4)'= \\ = (2x^3)'-(3x^2)'-(4)' = \\ = 2 {\cdot}3 {x}^{2} - 3{\cdot}2 {x}^{1} - 0 = \\ = 6 {x}^{2} - 6x$

b) f'(x0)

$f'(x_{0} ) = f'( - 1) \\ f'( - 1) = 6 { \cdot}( - 1)^{2} - 6{ \cdot}( - 1) = \\ = 6 - ( - 6) = 6 + 6 = 12$

3) Составим уравнение касательной

$y_{ kac} =f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \\ f(x_0) = f( - 1) = - 9 \\ f'(x_0) = f'( - 1) = 12 \\ (x-x_0) = x - ( - 1) = x + 1 \\ \\y_{ kac} = - 9 + 12 {\cdot}(x + 1) = \\ = - 9 + 12x + 12 = 12x + 3$

Получили ответ:

$y_{ kac} = 12x + 3$

Answer 3

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам понадобится знать значение производной функции в этой точке. Давайте найдем производную функции f(x) = 2x³ - 3x² - 4:

f'(x) = 6x² - 6x.

Теперь мы можем найти значение производной в точке с абсциссой -1:

f'(-1) = 6(-1)² - 6(-1) = 6 - 6 = 0.

Таким образом, значение производной в точке x = -1 равно 0. Используем это значение, чтобы найти уравнение касательной. Уравнение касательной имеет вид y = mx + c, где m - это наклон касательной, а c - это точка пересечения касательной с осью ординат.

Мы уже знаем, что в точке x = -1 у функции f(x) есть касательная с наклоном m = f'(-1) = 0. Чтобы найти c, подставим координаты точки (-1, f(-1)) в уравнение:

f(-1) = 2(-1)³ - 3(-1)² - 4 = -2 - 3 - 4 = -9.

Таким образом, координаты точки (-1, -9) лежат на касательной. Теперь у нас есть значение наклона m = 0 и точка (-1, -9), поэтому уравнение касательной принимает следующий вид:

y = 0x + c.

Подставляя координаты точки, найденные ранее, получаем:

-9 = 0(-1) + c,

откуда c = -9.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x³ - 3x² - 4 в точке с абсциссой -1 имеет вид:

y = -9.