Question

Знайдіть первісну функції f(x)=(x^4-3x^2+1)/x^2, графік якої проходить через точку а (1;5)

Answer 1

Ответ:

Искомая первообразная имеет вид:

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}x^3-3x-\frac{1}{x}+8\frac{2}{3}$

Объяснение:

Найдите первообразную функции f(x)=(x⁴-3x²+1)/x², график которой проходит через точку А (1;5).

Преобразуем данную функцию:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^4-3x^2+1}{x^2} =\frac{x^4}{x^2}-\frac{3x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\\ \\ =x^2-3+x^{-2}$

Используем формулы нахождения первообразных:

$\displaystyle \boxed {f(x)=x^n;\;\;\;F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\;\;n\neq -1 }\\\\ \boxed {f(x)=k;\;\;\;F(x)=kx+C }$

Найдем первообразную:

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}-3x+\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\\ \\ =\frac{x^3}{3}-3x-\frac{1}{x} +C$

Найдем С, подставив координаты точки А в первообразную:

$\displaystyle 5=\frac{1}{3}-3-1+C\\ \\C=5-\frac{1}{3}+4\\ \\C=8\frac{2}{3}$

Искомая первообразная имеет вид:

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}x^3-3x-\frac{1}{x}+8\frac{2}{3}$

#SPJ1

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

f(x)=(x⁴-3x²+1)/x², A(1; 5)

∫((x⁴-3x²+1)/x²)·dx=∫(x⁴/x²)·dx-∫((-3x²)/x²)·dx+∫(1/x²)·dx=∫x²·dx-∫(-3)·dx+∫(1/x²)·dx=1/3 ·x³-3x -1/x +C

1) ∫x²·dx=1/3 ·x³+С

2) ∫(-3)·dx=-3x+С

3) ∫(1/x²)·dx=-1/x +С

F(x)=1/3 ·x³-3x -1/x +C

Так как A(1; 5), то F(1)=5.

1/3 ·1³-3·1 -1/1 +C=5

1/3 +C=5+4

C=8 3/3 -1/3

C=8 2/3

Ответ: F(x)=1/3 ·x³-3x -1/x +8 2/3

Answer 3

Щоб знайти первісну функцію $f(x)$, спочатку розкладемо функцію на дроби. Ми маємо:

$f(x) = \frac{{x^4 - 3x^2 + 1}}{{x^2}} = x^2 - 3 + \frac{1}{{x^2}}$

Тепер інтегруємо кожен член окремо:

$\int (x^2 - 3) \, dx = \frac{{x^3}}{3} - 3x + C_1$

$\int \frac{1}{{x^2}} \, dx = -\frac{1}{x} + C_2$

Де $C_1$ та $C_2$ - це константи інтегрування.

Отже, первісна функція $f(x)$ має вигляд:

$F(x) = \frac{{x^3}}{3} - 3x - \frac{1}{x} + C$

Для знаходження константи $C$ скористаємося умовою, що графік функції проходить через точку $(1, 5)$. Підставимо $x = 1$ і $F(x) = 5$:

$5 = \frac{{1^3}}{3} - 3(1) - \frac{1}{1} + C$

$5 = \frac{1}{3} - 3 - 1 + C$

$5 = -\frac{8}{3} + C$

$C = \frac{23}{3}$

Тому, первісна функція $f(x)$, яка проходить через точку $(1, 5)$, має вигляд:

$F(x) = \frac{{x^3}}{3} - 3x - \frac{1}{x} + \frac{23}{3}$