Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА,СРОЧНОО 10. Докажите, что функция у=-x² - 10x+8 возрастает на проме- жутке (-∞; -5] и убывает на промежутке [-5; +∞).​

Answer 1

Ответ: см. объяснение.

Объяснение:

Нужно знать:

Квадратичная функция - это функция вида у = ах² + bx + c (a ≠ 0).

Абсциссу вершины параболы находят по формуле х₀ = -b/(2a).

Поэтому:

Функция у = -х² - 10х + 8 - квадратичная. График - парабола, ветви которой направлены вниз, т.к. коэффициент при х² отрицателен, т.е. а = -1 < 0.

Значит, данная функция возрастает на промежутке (-∞; х₀] и убывает на промежутке [х₀; +∞), где х₀ - абсцисса вершины параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы:

х₀ = -(-10)/(2 · (-1)) = 10/(-2) = -5.

Значит, данная функция возрастает на промежутке (-∞; -5] и убывает на промежутке [-5; +∞).

Доказано.

Answer 2

Для доказательства возрастания или убывания функции, мы должны проанализировать ее производную. Если производная положительна на заданном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на заданном интервале, то функция убывает на этом интервале.

Данная функция задана как у = -x² - 10x + 8. Для начала найдем производную этой функции.

Учитывая, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций, получим:

у' = (-x²)' + (-10x)' + (8)'

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

у' = -2x - 10

Теперь у нас есть производная функции у.

Для доказательства возрастания и убывания функции на заданных интервалах, мы должны проверить знак производной на каждом интервале.

1. Для интервала (-∞; -5]:

Подставим любое значение x из этого интервала в производную и проверим знак:

Пусть x = -6:

у' = -2(-6) - 10 = 12 - 10 = 2

Таким образом, на интервале (-∞; -5] производная функции положительна (2 > 0). Следовательно, функция у = -x² - 10x + 8 возрастает на этом интервале.

2. Для интервала [-5; +∞):

Подставим любое значение x из этого интервала в производную и проверим знак:

Пусть x = 0:

у' = -2(0) - 10 = -10

Таким образом, на интервале [-5; +∞) производная функции отрицательна (-10 < 0). Следовательно, функция у = -x² - 10x + 8 убывает на этом интервале.

Итак, мы доказали, что функция у = -x² - 10x + 8 возрастает на интервале (-∞; -5] и убывает на интервале [-5; +∞).