Question

Решите линейное неравенство х^4-5х^2+4 меньше или равно 0 поэтапно

Answer 1

Ответ:  $x\in [~- 2~ ~; ~-1 ~] \cup [ ~1 ~; ~ 2~]$

Объяснение:

$x^4 - 5x^2 + 4 \leqslant 0$

Введем замену :

$t = x^ 2 ~ ; ~ t ^2 = x^4$

$t^2 - 5t + 4 \leqslant 0 \\\\ \displaystyle \left \{ {{t_1 + t_2= 5} \atop {t_1 t_2 = 4}} \right. \Leftrightarrow t _1 = 4 ~ ; ~ t _2 = 1$

$(t-1)(t-4)\leqslant 0$

Подставим старую переменную

$(x^2-1)(x^2 -4)\leqslant 0 \\\\\ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\leqslant 0$

Отобразим на интервале

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.95,-0.3) {\sf -2} \put(1.34 ,0.1){ \LARGE --- } \put(.3 ,0.1){ \Large +} \put(2.35 ,0.1){ \Large + } \put(3.3 ,0.1){ \LARGE ---} \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf -1}\put(2.05,0){\circle*{0.05}} \put(3,-.3) {\sf 1}\put(3,0){\circle*{0.05}} \put(4,-0.3) {\sf 2}\put(4,0){\circle*{0.05}} \put(4.3 ,0.1){ \Large + } \put(0,0){\vector (1,0){5}} \end{picture}$

$x\in [~- 2~ ~; ~-1 ~] \cup [ ~1 ~; ~ 2~]$

Answer 2

Для решения данного линейного неравенства поэтапно, мы можем использовать метод интервалов.

Шаг 1: Факторизация полинома

Для начала, давайте решим уравнение, полученное путем приравнивания неравенства к нулю:

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Мы можем факторизовать его следующим образом:

(x^2 - 4)(x^2 - 1) = 0

Теперь мы имеем два уравнения:

x^2 - 4 = 0 и x^2 - 1 = 0

Шаг 2: Решение уравнений

Решим первое уравнение: x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два решения: x = 2 и x = -2.

Теперь решим второе уравнение: x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

И снова у нас есть два решения: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Определение знаков

Теперь мы определяем знаки полинома (x^4 - 5x^2 + 4) на интервалах между и за пределами найденных корней.

Рассмотрим следующую числовую ось:

-∞ -2 -1 1 2 +∞

Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак полинома в этой точке. Например, в интервале (-∞, -2) мы можем выбрать x = -3 в качестве тестовой точки:

(-3)^4 - 5(-3)^2 + 4 = 73

Полином положительный в этом интервале.

Продолжим этот процесс для всех интервалов:

(-∞, -2): положительный (-2, -1): отрицательный (-1, 1): положительный (1, 2): отрицательный (2, +∞): положительный

Шаг 4: Определение решений

Теперь, используя полученную информацию о знаках полинома, мы можем определить решения исходного линейного неравенства.

Для х^4 - 5х^2 + 4 ≤ 0, нам нужно найти интервалы, где полином меньше или равен нулю.

Таким образом, решением неравенства будет:

x ∈ [-2, -1] ∪ [1, 2]

Это означает, что все значения x, находящиеся в этих интервалах, удов