Question

Знайти первісну функцію f(x)=4x³-x

Answer 1

Ответ:

$F(x)=x^4 - \dfrac{x^2}{2}+C$

Объяснение:

$\bullet \displaystyle ~\int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} +C$

Находим первообразную для функции  f(x)=4x³-x

$\displaystyle F(x) =\int\limits ( 4x^3 -x )\, d x =\frac{4 \cdot x^{3+1}}{4} -\frac{x^{1+1}}{1+1} +C=x^4 - \frac{x^2}{2}+C$

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію для f(x) = 4x³ - x, ми застосуємо правила інтегрування для кожного з членів функції окремо.

Інтегрування 4x³ дає нам: ∫(4x³) dx = 4 ∫(x³) dx

Застосуємо формулу інтегрування для xⁿ: ∫(xⁿ) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

де C - константа інтегрування.

Тоді: ∫(4x³) dx = 4 ∫(x³) dx = 4 * (x^(3+1))/(3+1) + C₁ = (4/4) * x⁴ + C₁ = x⁴ + C₁.

Тепер інтегруємо -x: ∫(-x) dx = -(∫x dx) = -(∫(x¹) dx)

Застосуємо формулу інтегрування для xⁿ: ∫(xⁿ) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

де C - константа інтегрування.

Тоді: -(∫(x¹) dx) = -((x^(1+1))/(1+1)) + C₂ = -((x²)/(2)) + C₂.

Остаточно, первісна функція f(x) = 4x³ - x буде: F(x) = x⁴/4 - x²/2 + C,

де C - константа інтегрування.