Question

Василь Заплутайко шукає первісну функцію y=cos х² так: 1) робить заміну х²=t і отримує функцію у=cos t 2) далі шукає первісну функції y= cos t і отримує y=sin t 3) потім замість t підставляє значення t=х² і робить висновок, що кожна первісна має вигляд y=sin x²+C, де С- деяке число. У чому полягає помилка Василя?

Answer 1

Ошибка в том, что при замене х² на t надо ещё иметь множитель, равный производной (похiдной) от t, то есть должен быть множитель (2х). А такого множителя нет.
 Итак, если бы функция была  $y=2x\cdot cosx^2$ , то первообразная (первicная) этой функции имела вид  $y=sinx^2+C$ .
Проверка:
                  $(sinx^2+C)'=cosx^2\cdot (x^2)'+0=cosx^2\cdot 2x=2x\cdot cosx^2$   

Answer 2

Пошук первісної функції y=cos(x²)

Василь Заплутайко шукає первісну функцію для виразу y=cos(x²). Його підхід можна розділити на кілька кроків:

1. Заміна x² на t: Василь робить заміну x² = t і отримує функцію y = cos(t). 2. Пошук первісної функції для y = cos(t): Він шукає первісну функції для y = cos(t) і отримує y = sin(t). 3. Підстановка t = x² та висновок: Василь підставляє значення t = x² і робить висновок, що кожна первісна має вигляд y = sin(x² + C), де C - деяке число.

Помилка Василя

Помилка Василя полягає в останньому кроці, де він робить висновок, що кожна первісна функція має вигляд y = sin(x² + C), де C - деяке число. Однак, це висновок є неправильним.

Фактично, при знаходженні первісної функції для y = cos(x²), використовуючи метод заміни, ми отримуємо більш складний вираз, ніж просто y = sin(x² + C). Вірний вираз для первісної функції має більш складну форму, яка включає в себе спеціальну функцію, що називається інтегралом Френеля.

Таким чином, помилка Василя полягає в спрощенні виразу для первісної функції, і він не врахував специфіку знаходження первісної функції для даного виразу.