Question

Установіть, чи є функція F(x)=2x+5ctg(x) первісною функції f(x)=2-5/sin^2(x) на множині R.

Answer 1

Находим производную нашей первообразной.

$\displaystyle F(x) = 2x +5\cot x$

$></p> <p><img src=$

Да, наша первообразная является первоначальной функции f(x)=2-5/sin^2(x)

Answer 2

Для того, щоб встановити, чи є функція F(x) первісною функції f(x), ми можемо застосувати необхідну умову першої теореми про інтегрування Фон Неймана-Ньютона.

Необхідна умова говорить про те, що якщо F(x) є первісною функції f(x) на множині R, то похідна F'(x) повинна бути рівна f(x) на цій же множині.

Похідна від F(x) дорівнює F'(x) = 2 + 5(-cosec^2(x)) = 2 - 5/sin^2(x).

Отже, якщо f(x) = 2 - 5/sin^2(x), то F'(x) = 2 - 5/sin^2(x).

Отримали, що F'(x) = f(x). Тому функція F(x) є первісною функції f(x) на множині R.