Question

Пж быстрее даю 80 баллов!!!!!!! Доведіть, що число 3^13 - 3^12 - 9^5 кратне числу 17.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\3^{13} -3^{12} -9^{5} =3^{13} -3^{12} -(3^{2} )^{5} =3^{13} - 3^{12} -3^{10} =\\\\\\=3^{10} \cdot(3^{3} -3^{2} -1)=3^{10} \cdot(27-9-1)=3^{10} \cdot 17$

Если один из множителей кратен 17 , то и всё произведение кратно 17 .

Answer 2

Щоб довести, що число $3^{13} - 3^{12} - 9^5$ кратне числу 17, ми можемо скористатися алгеброю та властивостями модулярності.

Спочатку перепишемо задане число у вигляді:

$3^{13} - 3^{12} - 9^5 = 3^{12} \cdot 3 - 3^{12} - (3^2)^5 = 3^{12} \cdot 3 - 3^{12} - 3^{10}$

Тепер давайте розглянемо кожен доданок окремо.

1. $3^{12} \cdot 3$

Оскільки $3^{12}$ кратне 17 (з цієї властивості ми розраховуємо), можемо записати:

$3^{12} \cdot 3 \equiv 0 \pmod{17}$

2. $3^{12}$

Знову, оскільки $3^{12}$ кратне 17, отримаємо:

$3^{12} \equiv 0 \pmod{17}$

3. $3^{10}$

Тут ми не можемо стверджувати, що $3^{10}$ безпосередньо кратне 17, але ми можемо використати іншу властивість:

$3^2 \equiv 9 \pmod{17}$

Застосуємо цю властивість двічі:

$3^{10} = (3^2)^5 \equiv 9^5 \pmod{17}$

Тепер розглянемо $9^5$:

$9^5 = 9 \cdot 9^4$

Ми знаємо, що $9^4$ кратне 17, оскільки $9^4 = (3^2)^4 = 3^8$, і $3^8$ кратне 17.

Таким чином, $9^4$ кратне 17, отже, ми можемо записати:

$9^5 \equiv 9 \cdot 9^4 \equiv 9 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{17}$

Тепер ми маємо:

$3^{12} \cdot 3 - 3^{12} - 3^{10} \equiv 0 - 0 - 0 \equiv 0 \pmod{17}$

Отже, число $3^{13} - 3^{12} - 9^5$ кратне 17.