Question

Докажите что любое значение k неравенство правильно? k^2+1≥2×(3k-4)​

Answer 1

Смотри....................

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для k = 1: Подставим k = 1 в неравенство: 1^2 + 1 ≥ 2 × (3 × 1 - 4) 2 ≥ 2 × (3 - 4) 2 ≥ 2 × (-1) 2 ≥ -2 Неравенство верно для k = 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что неравенство верно для некоторого значения k = n, то есть n^2 + 1 ≥ 2 × (3n - 4).

Шаг 3: Доказательство для (k = n + 1) Мы хотим доказать неравенство для k = n + 1: (n + 1)^2 + 1 ≥ 2 × (3(n + 1) - 4) n^2 + 2n + 1 + 1 ≥ 6n + 6 - 4 n^2 + 2n + 2 ≥ 6n + 2 n^2 + 1 + 2n + 1 ≥ 6n + 2 (n^2 + 1) + (2n + 1) ≥ 6n + 2

Мы знаем, что предположение индукции верно для k = n: n^2 + 1 ≥ 2 × (3n - 4)

Поэтому мы можем заменить это выражение в неравенстве: (2 × (3n - 4)) + (2n + 1) ≥ 6n + 2 6n - 8 + 2n + 1 ≥ 6n + 2 8n - 7 ≥ 6n + 2 2n - 7 ≥ 2

Теперь давайте докажем это неравенство отдельно: 2n - 7 ≥ 2 2n ≥ 9 n ≥ 4.5

Поскольку n является целым числом, а n ≥ 4.5, то n ≥ 5.

Таким образом, неравенство верно для всех целых значений k ≥ 5.

Шаг 4: Заключение Мы доказали, что если неравенство выполняется для k = 1 (базовый случай) и предположение индукции верно для k = n, то оно также выполняется для k = n + 1. Поэтому, согласно принципу математической индукции, неравенство верно для всех целых значений k ≥ 1.