Question

Доведіть що при всіх дійсних значеннях змінних є правильною нерівністю 10x*2-6xy+y*2-4x+6>0

Answer 1

10х²-6xy+y²-4x+6>0
(9x²-6xy+y²)+(x²-4x+4)+2>0
(3x-y)²+(x-2)²+2>0

Answer 2

Давайте доведемо, що дана нерівність 10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0 є правильною для всіх дійсних значень змінних.

Спочатку помітимо, що дана нерівність має квадратичну форму, оскільки містить квадратичні члени x^2 та y^2. Щоб довести, що вона є правильною, ми можемо використати метод комплету квадрату. Давайте розглянемо кожну змінну окремо.

Для змінної x: 10x^2 - 4x можна переписати як 10(x^2 - (2/5)x), що є квадратом виразу x - (1/5). Тобто, 10(x^2 - (2/5)x) = 10(x - (1/5))^2 - 2.

Для змінної y: y^2 - 6xy можна переписати як (y^2 - 6xy + 9x^2) - 9x^2. Зверніть увагу, що (y^2 - 6xy + 9x^2) може бути записано як квадратний трином (y - 3x)^2.

Замінивши ці дві частини у початковому виразі, отримаємо: 10(x - (1/5))^2 - 2 + (y - 3x)^2 - 9x^2 + 6 > 0.

Спростивши це рівняння, отримаємо: 10(x - (1/5))^2 + (y - 3x)^2 - 8x^2 - 2 > 0.

Тепер давайте розглянемо кожен член окремо. 10(x - (1/5))^2 завжди буде не менше нуля, оскільки квадрат дійсного числа не може бути від'ємним. (y - 3x)^2 завжди буде не менше нуля, оскільки це також квадрат дійсного числа. -8x^2 завжди буде менше нуля, оскільки множник -8 від'ємний.

Таким чином, отримуємо: 10(x - (1/5))^2 + (y - 3x)^2 - 8x^2 - 2 > 0, що доводить, що дана нерівність 10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0