Question

Даю 30 баллов исследовать с помощью производной функцию и построить график f(x) =2-3x^2-x^3

Answer 1

$f'(x) = -6x - 3x^2 = -3x(2+x)$

Критические точки: x1=0, x2=-2

Найдем, какие из этих точек являются экстремумами и промежутки возрастания и убывания функции на числовой оси (см. рисунок 1):

По рисунку видно, что функция убывает до -2, затем возрастает до 0 и затем снова убывает. Следовательно

Промежутки убывания: (-∞;-2)∪(0;∞)

Промежуток возрастания: (-2;0)

Минимум: -2

Максимум: 0

График см. рисунок 2

Answer 2

Хорошо! Я помогу вам исследовать функцию и построить ее график. Давайте начнем с анализа функции с помощью производной.

Функция: f(x) = 2 - 3x^2 - x^3

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (2 - 3x^2 - x^3) = 0 - 6x - 3x^2 = -6x - 3x^2

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю:

-6x - 3x^2 = 0 -3x(2 + x) = 0

Таким образом, x = 0 или x = -2.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции, используя производную:

Для x < -2: Выберем x = -3. Подставим его в производную: f'(-3) = -6(-3) - 3(-3)^2 = 18 - 27 = -9 (отрицательное значение)

Таким образом, функция f(x) убывает для x < -2.

Для -2 < x < 0: Выберем x = -1. Подставим его в производную: f'(-1) = -6(-1) - 3(-1)^2 = 6 - 3 = 3 (положительное значение)

Таким образом, функция f(x) возрастает для -2 < x < 0.

Для x > 0: Выберем x = 1. Подставим его в производную: f'(1) = -6(1) - 3(1)^2 = -6 - 3 = -9 (отрицательное значение)

Таким образом, функция f(x) убывает для x > 0.

4. Найдем точки экстремума, где производная меняет знак:

Минимум: x = -2 Максимум: x = 0

5. Найдем точки перегиба, где производная меняет свой знак:

f''(x) = d^2/dx^2 (-6x - 3x^2) = -6 - 6x

f''(-2) = -6 - 6(-2) = -6 + 12 = 6 (положительное значение)

Таким образом, функция f(x) имеет точку перегиба при x = -2.

Теперь, когда мы исследовали функцию с помощью производной, построим график.

График функции f(x):

markdownCopy code
    ^
    |
    |
    |
    |

--------|-------------------- | | | | |

-4 -2 0 2 4 6