Question

Знайдіть перший член геометричної прогресії xn якщо q=1/3, S5=40/9​

Answer 1

Дано: q = 1/3, S5 = 40/9, n = 1

Ми знаємо формулу для суми перших n членів геометричної прогресії:

S_n = a(1-q^n)/(1-q)

Підставимо відомі значення і отримаємо рівняння з однією невідомою a:

40/9 = a(1-(1/3)^5)/(1-(1/3))

40/9 = a(1-(1/243))/(2/3)

40/9 = a(242/243)/(2/3)

40/9 = a(242/243 * 3/2)

40/9 = a(363/486)

40/9 = a(121/162)

a = 40/9 * 162/121

a = 54

Отже, перший член геометричної прогресії дорівнює 54.

Щоб знайти 12-ий член, ми можемо використати формулу для n-го члена геометричної прогресії:

x_n = a*q^(n-1)

Підставляємо відомі значення і отримуємо:

x_12 = 54*(1/3)^(12-1)

x_12 = 54*(1/3)^11

x_12 = 54/177147

x_12 = 0.00030517578125

Отже, 12-ий член геометричної прогресії дорівнює 0.00030517578125.

Answer 2

У геометричній прогресії кожен наступний член отримується множенням попереднього члена на фіксований знаменник q. Таким чином, маємо наступну формулу для загального члена геометричної прогресії:

xn = x1 * q^(n-1),

де xn - n-тий член прогресії, x1 - перший член прогресії, q - знаменник прогресії, n - номер члена прогресії.

В даному випадку маємо q = 1/3 і S5 = 40/9, що представляє суму перших 5 членів прогресії. Формула для суми перших n членів геометричної прогресії має вигляд:

S_n = x1 * (1 - q^n) / (1 - q).

Підставимо дані у вираз:

40/9 = x1 * (1 - (1/3)^5) / (1 - 1/3).

Спростимо вираз:

40/9 = x1 * (1 - 1/243) / (2/3).

Перевернемо дріб:

40/9 = x1 * (3/2) / (242/243).

Помножимо обидві сторони на (242/243):

(40/9) * (242/243) = x1 * (3/2).

Помножимо обидві сторони на (2/3):

(40/9) * (242/243) * (2/3) = x1.

Отримаємо значення першого члена прогресії x1:

x1 = (40/9) * (242/243) * (2/3) ≈ 15.78704.

Отже, перший член геометричної прогресії x1 при q = 1/3 і S5 = 40/9 приблизно дорівнює 15.78704.