Question

3. Дана функция у = - x² - 2x + 3 . Не строя графика, найдите: - а) область определения функции. b) нули функции. c) наименьшее значение функции. [4]​

Answer 1

Ответ:

a) Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. Так как y определено для любого значения x, то область определения функции равна всей числовой прямой.

Область определения функции: x ∈ (-∞; +∞)

b) Найдем нули функции, т.е. значения x, при которых y = 0.

- x² - 2x + 3 = 0

- Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

-2² - 4*(-1)*3 = 16

- x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

x₁,₂ = (-(-2) ± √16) / 2*(-1)

x₁ = -1 + 2 = 1;

x₂ = -1 - 2 = -3;

Нули функции: (-3; 0) и (1; 0).

c) Поскольку коэффициент при x² отрицательный, то график параболы направлен вниз и достигает своего минимума в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы:

x₀ = -b / 2a

x₀ = -(-2) / 2*(-1)

x₀ = 1

y₀ = -x₀² - 2x₀ + 3

y₀ = -1 -2 + 3 = 0

Наименьшее значение функции равно 0.

Объяснение:

a) Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. Так как y определено для любого значения x, то область определения функции равна всей числовой прямой.

Область определения функции: x ∈ (-∞; +∞)

b) Найдем нули функции, т.е. значения x, при которых y = 0.

- x² - 2x + 3 = 0

- Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

-2² - 4*(-1)*3 = 16

- x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

x₁,₂ = (-(-2) ± √16) / 2*(-1)

x₁ = -1 + 2 = 1;

x₂ = -1 - 2 = -3;

Нули функции: (-3; 0) и (1; 0).

c) Поскольку коэффициент при x² отрицательный, то график параболы направлен вниз и достигает своего минимума в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы:

x₀ = -b / 2a

x₀ = -(-2) / 2*(-1)

x₀ = 1

y₀ = -x₀² - 2x₀ + 3

y₀ = -1 -2 + 3 = 0

Наименьшее значение функции равно 0.

Answer 2

a) Область определения функции - это множество всех допустимых значений переменной x. В данном случае, функция y = -x² - 2x + 3 является квадратичной функцией, и областью определения будет вся числовая прямая R. То есть, любое значение x является допустимым для данной функции.

b) Чтобы найти нули функции, нужно найти значения x, при которых y = 0. В данном случае, уравнение будет иметь вид:

-x² - 2x + 3 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать различные методы, такие как факторизация, завершение квадрата или квадратное уравнение. Здесь я воспользуюсь квадратным уравнением:

Дискриминант (D) квадратного уравнения равен:

D = b² - 4ac

В данном случае, a = -1, b = -2 и c = 3. Подставим эти значения в формулу для D:

D = (-2)² - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16

Так как D положительный, то у уравнения есть два различных действительных корня.

Корни можно найти с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-2) + √16) / (2(-1)) = (2 + 4) / (-2) = 6 / -2 = -3 x₂ = (-(-2) - √16) / (2(-1)) = (2 - 4) / (-2) = -2 / -2 = 1

Таким образом, нули функции равны x₁ = -3 и x₂ = 1.

c) Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти вершину параболы, которую описывает данная квадратичная функция. Функция y = -x² - 2x + 3 имеет отрицательный коэффициент при x², поэтому парабола открывается вниз.

Вершина параболы может быть найдена с помощью формулы:

x = -b / (2a)

В данном случае, a = -1 и b = -2. Подставим эти значения:

x = -(-2) / (2(-1)) = 2 / (-2) = -1

Чтобы найти значение функции в точке x = -1, подставим этот x в исходную функцию:

y = -(-1)² - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Таким образом, наименьшее значение функции равно 4.