Question

Розв’язати рівняння: sin3x – sinx = 0

Answer 1

Ответ:

Данное уравнение можно решить с помощью тригонометрических преобразований.

Сначала раскроем функцию sin3x по формуле тройного аргумента:

sin3x = 3sinx - 4sin^3x

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

3sinx - 4sin^3x - sinx = 0

Упрощаем:

2sinx - 4sin^3x = 0

Выносим общий множитель:

2sinx(1 - 2sin^2x) = 0

Таким образом, получаем два решения:

sinx = 0 или sinx = ±1/√2

Первое решение даёт нам бесконечное множество корней вида x = kπ, где k - целое число.

Второе решение даёт нам два корня: x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Итак, решения уравнения:

x = kπ, x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число.

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння sin3x - sinx = 0, спробуємо використати тригонометричну тотожність для різниці синусів:

sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB.

Застосуємо цю тотожність, замінивши A на 3x та B на x:

sin(3x - x) = sin(2x) = sin3xcosx - cos3xsinx.

Отже, наше рівняння може бути переписане таким чином:

sin3xcosx - cos3xsinx = 0.

Тепер використаємо ще одну тригонометричну тотожність, а саме sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB:

sin(3x + x) = sin(4x) = sin3xcosx + cos3xsinx.

Перепишемо рівняння з використанням цієї тотожності:

sin3xcosx - cos3xsinx + sin3xcosx + cos3xsinx = 0.

Спрощуємо:

2sin3xcosx = 0.

Тепер у нас є добуток двох факторів, і рівняння буде задоволене, якщо один з цих факторів дорівнює нулю. Отже, ми маємо два випадки:

1. sin3x = 0: Це відбувається, коли 3x = k * π, де k - ціле число. Тому x = k * π / 3, де k - ціле число.

2. cosx = 0: Це відбувається, коли x = (2n + 1) * (π/2), де n - ціле число.

Отже, розв'язками рівняння sin3x - sinx = 0 є x = k * π / 3 та x = (2n + 1) * (π/2), де k і n - цілі числа.