Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке: y = x^5 - 5x^4 + 5^3 [0;2]

Answer 1

Ответ:

Для решения данной задачи необходимо найти значения функции на концах отрезка [0;2] и в её критических точках внутри этого отрезка.

Нем значение функции на концах отрезка:

y(0) = 0^5 - 5*0^4 + 5^3 = 125

y(2) = 2^5 - 5*2^4 + 5^3 = -3

Теперь найдем критические точки функции, то есть точки, в которых её производная равна нулю или не существует.

y'(x) = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3(x-4)

y'(x) = 0 при x=0 и x=4.

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:

y(0) = 125

y(4) = 1024 - 5*4^4 + 5^3 = -51

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;2] равно 125, а наименьшее значение равно -51.

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо вычислить значения функции в его конечных точках и в критических точках внутри отрезка.

1. Вычислим значение функции в конечных точках отрезка:

   • При x = 0: y(0) = 0^5 - 5(0)^4 + 5^3 = 0 - 0 + 125 = 125.
   • При x = 2: y(2) = 2^5 - 5(2)^4 + 5^3 = 32 - 80 + 125 = 77.

2. Для определения критических точек найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y'(x) = 5x^4 - 20x^3 = x^3(5x - 20) = 0. Из этого уравнения получаем два решения: x = 0 и x = 4.

3. Вычислим значение функции в найденных критических точках:

   • При x = 0: y(0) = 0^5 - 5(0)^4 + 5^3 = 0 - 0 + 125 = 125.
   • При x = 4: y(4) = 4^5 - 5(4)^4 + 5^3 = 1024 - 1280 + 125 = -131.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0, 2] равно 125, а наименьшее значение равно -131.