Question

Доведіть що 4¹⁵-4¹⁴+4¹³ ділиться на 13

Answer 1

Ответ:

$4^{15}-4^{14}+4^{13}=4^{13}(4^{2}-4^{1}+4^{0})=4^{13}(16-4+1)=4^{13}*13доказано$

Answer 2

Щоб довести, що число $4^{15} - 4^{14} + 4^{13}$ ділиться на 13, ми можемо скористатись з властивості модулярної арифметики. Візьмемо кожен з членів окремо і розглянемо їх за модулем 13.

За допомогою малої теореми Ферма ми знаємо, що для будь-якого цілого числа $a$, яке не ділиться на 13, виконується $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.

Тепер розглянемо кожен з членів виразу:

1. $4^{15} \equiv (4^{12})^1 \cdot 4^3 \equiv 1^1 \cdot 64 \equiv 64 \equiv 12 \pmod{13}$.

2. $4^{14} \equiv (4^{12})^1 \cdot 4^2 \equiv 1^1 \cdot 16 \equiv 16 \equiv 3 \pmod{13}$.

3. $4^{13} \equiv (4^{12})^1 \cdot 4^1 \equiv 1^1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{13}$.

Тепер складемо ці результати:

$4^{15} - 4^{14} + 4^{13} \equiv 12 - 3 + 4 \equiv 13 \equiv 0 \pmod{13}$.

Отже, ми отримали, що $4^{15} - 4^{14} + 4^{13}$ ділиться на 13.