Question

Найдите точки перегиба функции y=( x-2 )*( x+1 )^2

Answer 1

Решение.

 Если  $\bf y''(x_0)=0$  ,  то  $\bf x_0$ - абсцисса точки перегиба .

$\bf y=(x-2)(x+1)^2\\\\y'=(x+1)^2+(x-2)\cdot 2(x+1)=(x+1)(x+1+2x-4)=(x+1)(3x-3)=\\\\=3(x+1)(x-1)=3(x^2-1)\\\\y''=3\cdot 2x=6x\\\\y''=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 6x=0\ \ ,\ \ \underline{\bf x=0}\\\\y(0)=(0-2)(0+1)^2=-2$  

Точка перегиба - это точка  $\bf (\, 0\ ;-2\, )$  .

Answer 2

Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти вторую производную и найти значения x, где вторая производная равна нулю или не существует.

Итак, начнем с выражения для функции y:

y = (x - 2) * (x + 1)^2

Для удобства расчетов раскроем квадрат:

y = (x - 2) * (x^2 + 2x + 1)

Распределим это уравнение:

y = x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2

y = x^3 - 3x - 2

Теперь найдем первую производную функции y:

y' = 3x^2 - 3

Найдем вторую производную, возьмем производную первой производной:

y'' = 6x

Теперь приравняем вторую производную к нулю и найдем значения x:

6x = 0

x = 0

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба при x = 0.