Question

Порівняти порядок малості функції a(x)=√(1+4x)-√(1+x ) і β(x)=x при x→0

Answer 1

Відповідь:     одного порядку малості .

Пояснення:

 Нескінченно малі α(x) = √(1+4x)-√(1+x ) і β(x) = x  одного порядку

 малості , бо границя їх відношення  β(x)/α(x)  при  х → 0 дорівнює

 сталій  2/3 , яка не дорівнює 0 :

   β(x)/α(x) = x/[√(1+4x)-√(1+x ) ] = x [ √(1+4x) +√(1+x ) ]/x/[(√(1+4x) )² -

   - ( √(1+x ) )²] = x [ ( √(1+4x) +√(1+x ) ]/( 1 + 4x - 1 - x ) =

   = x [ √(1+4x) +√(1+x ) ]/( 3x ) = ( √(1+4x) +√(1+x ) ]/3 -----> 2/3 ≠ 0 .

                                                                                      x→0

Answer 2

Щоб порівняти порядок малості функцій a(x) = √(1+4x) - √(1+x) і β(x) = x при x→0, ми можемо застосувати розклад функцій в ряд Тейлора навколо точки x = 0 і порівняти коефіцієнти при найменших степенях x.

Розклад функції a(x) в ряд Тейлора виглядає так:

a(x) = √(1+4x) - √(1+x) = (1+4x)^(1/2) - (1+x)^(1/2)

Застосуємо розклад (1+4x)^(1/2) і (1+x)^(1/2) в ряд Тейлора:

(1+4x)^(1/2) = 1 + (1/2)(4x) + O(x^2) = 1 + 2x + O(x^2)

(1+x)^(1/2) = 1 + (1/2)x + O(x^2)

Тоді:

a(x) = (1+2x + O(x^2)) - (1 + (1/2)x + O(x^2)) = 1 + 2x - 1 - (1/2)x + O(x^2) = (3/2)x + O(x^2)

Отже, за розкладом в ряд Тейлора, функція a(x) можна записати як (3/2)x + O(x^2) при x→0.

Розклад функції β(x) = x в ряд Тейлора просто дає:

β(x) = x

Таким чином, порядок малості функції a(x) є O(x), тобто її порядок зростання при x→0 є лінійним. З іншого боку, порядок малості функції β(x) є O(x^1), що також є лінійним.

Отже, функції a(x) і β(x) мають однаковий порядок малості при x→0, а саме, лінійний порядок малості.