Question

Укажіть кількість усіх коренів рівняння sin3x+sin9x+cos3x=0, що належать проміжку [0;π/2].​

Answer 1

Ответ:

0

Объяснение:

Уравнение sin3x+sin9x+cos3x=0 можно переписать в виде sin3x+cos3x+sin9x=0. Заметим, что sin3x+cos3x ≤ √2 (это следует из неравенства Коши-Буняковского). Тогда sin9x = -(sin3x+cos3x) ≤ -√2.Таким образом, мы получили, что sin9x ≤ -√2, что невозможно для промежутка [0;π/2], так как значение синуса не может быть меньше -1. Следовательно, уравнение не имеет решений на данном промежутке.Ответ: 0.

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння та знайдемо корені, які належать проміжку [0;π/2].

Рівняння: sin(3x) + sin(9x) + cos(3x) = 0

Згрупуємо тригонометричні доданки:

(sin(3x) + cos(3x)) + sin(9x) = 0

Перепишемо sin(3x) + cos(3x) за допомогою формули:

√2 * sin(π/4 + 3x) + sin(9x) = 0

Тепер замінимо sin(π/4 + 3x) на t:

√2 * t + sin(9x) = 0

sin(9x) = -√2 * t

Так як sin(9x) має значення від -1 до 1, то можемо записати:

-√2 ≤ -√2 * t ≤ √2

Розділимо всі частини нерівності на -√2 (враховуючи, що -√2 < 0):

1 ≤ t ≤ -1

Отже, ми отримали обмеження на t.

Тепер розглянемо значення t, які задовольняють ці обмеження.

Якщо 1 ≤ t ≤ -1, то немає жодного значення t, яке задовольняло б цій нерівності.

Отже, в розглянутому проміжку [0;π/2] рівняння sin(3x) + sin(9x) + cos(3x) = 0 не має коренів.