Question

Знайдіть проміжки спадання функції f(x)= x^3/3 - 7x^2/2 +12x -30

Answer 1

Для того, щоб знайти проміжки спадання функції, потрібно знайти її похідну та визначити її знак на кожному інтервалі.

Знайдемо похідну функції f(x):
f'(x) = x^2 - 7x + 12

Знайдемо корені цієї квадратної функції:
x^2 - 7x + 12 = 0
(x - 3)(x - 4) = 0
x1 = 3, x2 = 4

Знаходимо знаки похідної на кожному з інтервалів між коренями та за межами цих коренів:

1) Інтервал (-∞, 3):
f'(x) = x^2 - 7x + 12
f'(x)

Answer 2

Щоб знайти проміжки спадання функції $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x - 30$, спочатку треба знайти похідну цієї функції, а потім визначити, де похідна є від'ємною.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x - 30\right)$ Застосовуємо правила похідних до кожного члена окремо: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{7x^2}{2}\right) + \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(30)$ $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{7}{2} \cdot 2x + 12$ $f'(x) = x^2 - 7x + 12$

2. Знайдемо критичні точки, де $f'(x) = 0$: $x^2 - 7x + 12 = 0$ $(x - 3)(x - 4) = 0$ З отриманих рівнянь отримуємо дві критичні точки: $x = 3$ і $x = 4$.

3. Використовуючи тестування знаку або складаючи таблицю знаків, можемо визначити проміжки спадання:

   a) Розглянемо інтервал $(-\infty, 3)$: Підставимо в похідну функції довільне значення $x$, наприклад, $x = 2$: $f'(2) = (2)^2 - 7(2) + 12 = 4 - 14 + 12 = 2 < 0$ Отже, на інтервалі $(-\infty, 3)$ функція $f(x)$ є спадною.

   b) Розглянемо інтервал $(3, 4)$: Підставимо в похідну функції довільне значення $x$, наприклад, $x = 3.5$:

   $$$$