Question

Мастер выполняет работу на 5 часов быстрее, чем ученик. Работая вместе выполняют работу за 6 часов, за какое время могут выполнить каждый, работая по отдельности? Распишите пожалуйста.

Answer 1

Ответ: По отдельности  ученик закончит  работу за 15 часов  , а мастер за 10 часов

Объяснение:

Пусть за   x + 5  часов ученик выполняет всю работу , тогда за час он выполнит 1/(x+5) часть от поставленной работы

С учителем аналогично , за  x -5 +5 = x часов   он выполнит всю работу , а за час выполнит  1/x часть работы  

Соответственно , если за 6 часов они при совместной работе  выполнят всю работу , то за час они выполнят 1/6 часть от всей работы.

Таким образом сложив их скорости , мы получим что за 1 час они будут выполнять  1/6 часть  работы за час :

$\displaystyle \frac{1}{x+5}+\frac{1}{x} =\frac{1}{6} \\\\\\ \frac{2x +5}{x^2 +5x} = \frac{1}{6} \\\\\\ x^2 +5x = 12x + 30 \\\\ x^2 - 7x - 30 =0$

По теореме Виета :

$\left \{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 7 \\\\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{array} \Leftrightarrow x_1 = 10 ~ \checkmark ~~ ; ~~ x_2 = -3 ~ \varnothing$

Берем только первый корень , т.к скорость может принимать только положительное значение

Таким образом :

Мастер  выполнит данную работу за  x = 10 часов

Ученик  выполнит данную работу за  x + 5 = 15 часов

Answer 2

Пусть ученик завершает работу за "х" часов, тогда мастер, работая быстрее, завершит ее за "х - 5" часов.

Зная, что работая вместе они завершают работу за 6 часов, мы можем составить следующее уравнение на основе пропорции времени и работы:

1/х + 1/(х - 5) = 1/6

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим все его члены на 6х(х-5), чтобы избавиться от знаменателей:

6(х - 5) + 6х = х(х - 5)

6х - 30 + 6х = х^2 - 5х

12х - 30 = х^2 - 5х

Перенесем все члены в одну сторону:

х^2 - 5х - 12х + 30 = 0

х^2 - 17х + 30 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

(х - 2)(х - 15) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для "х": х = 2 и х = 15.

Так как время не может быть отрицательным, отбрасываем х = 2. Значит, ученик может выполнить работу за 15 часов, а мастер, работая быстрее, может выполнить работу за 15 - 5 = 10 часов.