Question

Найти область определения функции : f(x)=√x-3+4/x²+25. там где √, означает что x-3 это все под корнем квадратным. Пожалуйста, подробно напишите как это решается. Спасибо. 45 баллов за хороший ответ и обьяснение!

Answer 1

Чтобы найти область определения функции надо искать в первую очередь, не может ли знаменатель быть нулем, вторая опасность - отрицательное число под знаком кв. корня.

1) знаменатель есть: x²+25; x²≥0, x²+25>0 при любых значениях ( х ).

2) корень: х-3≥0; х≥3

Ответ: ОДЗ х∈[3;+∞).

Answer 2

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, знаменатель должен быть ненулевым.

То есть x - 3 >= 0 и x^2 + 25 ≠ 0.

x - 3 >= 0 ⇔ x >= 3

x^2 + 25 выполняется при любых x

Получаем: [3; +∞)

Answer 3

Чтобы найти область определения функции f(x), нужно определить значения x, при которых функция имеет смысл и не вызывает деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

В данном случае, у нас есть два условия:

1. Деление на ноль: знаменатель функции не должен быть равен нулю. Знаменатель функции равен x² + 25, поэтому x² + 25 ≠ 0. Решим это неравенство:

x² + 25 ≠ 0 x² ≠ -25

Уравнение x² = -25 не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, знаменатель функции никогда не будет равен нулю, и мы не имеем ограничений в этом отношении.

2. Извлечение квадратного корня: подкоренное выражение (x - 3) должно быть неотрицательным, чтобы избежать комплексных чисел в результате.

x - 3 ≥ 0 x ≥ 3

Итак, областью определения функции f(x) является множество всех действительных чисел x, таких что x ≥ 3.

Область определения функции f(x) можно записать в математической нотации следующим образом:

D(f) = {x ∈ ℝ | x ≥ 3}

Таким образом, функция f(x) определена для всех действительных чисел x, больших или равных 3.