Question

Вычислите сумму, разность, произведение и частное чисел z1=2 + 3i и z2=5 – 7i.

Answer 1

Ответ:

сумма                 z = 7 - 4i

разность            z = -3 + 10i

произведение  z = 31 + i

частное              $\displaystyle \boldsymbol {z=-\frac{11}{74} +\frac{29}{74} i}$

Объяснение:

• Сумма комплексных чисел, записанных в алгебраической форме,  представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел
• z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

В нашем случае

(2 + 3i) + (5 - 7i) = (2 + 5) + (3 - 7)i = 7 - 4i

• Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

• z = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) i.

В нашем случае

(2 + 3i) - (5 - 7i) = (2 - 5) + (3 + 7)i = -3 + 10i

• Произведение двух комплексных, чисел записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число , равное

• z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ +b₁a₂)i

В нашем случае

$\displaystyle (2 + 3i) * (5 - 7i) = \bigg(2*5 - 3*-(7)\bigg )+ \bigg(2*(-7)) +3*5\bigg) i\it=\underline {31 + i}$

• Частное двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число , равное

• $\displaystyle z=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} +\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} i$

На практике, чтобы не возиться с этими коэффициентами, делают так ( считаем для нашего случая):

1. Умножают оба числа на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом.

$\displaystyle \frac{2+3i}{5-7i} = \frac{2+3i}{5-7i} *\frac{5+7i}{5+7i} =\frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25-49i^2}=\frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25+49}$

2. Дальше в числителе  перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что i² = -1.

$\displaystyle \frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25+49}=\frac{10+14i +15i+21i^2}{74} =\frac{-11+29i}{74} =\it \underline {-\frac{11}{74} +\frac{29}{74} i}$

#SPJ1

Answer 2

Для вычисления суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел z1 = 2 + 3i и z2 = 5 - 7i, мы будем использовать стандартные операции сложения, вычитания, умножения и деления для комплексных чисел.

Сумма: z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 5 + 3i - 7i = 7 - 4i

Разность: z1 - z2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 - 5 + 3i + 7i = -3 + 10i

Произведение: z1 * z2 = (2 + 3i) * (5 - 7i) = 2 * 5 + 2 * (-7i) + 3i * 5 + 3i * (-7i) = 10 - 14i + 15i - 21i^2

Здесь i^2 равно -1, поэтому: z1 * z2 = 10 - 14i + 15i - 21(-1) = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i

Частное: z1 / z2 = (2 + 3i) / (5 - 7i)

Чтобы разделить комплексные числа, мы домножим числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя.

Сопряжение числа z2: (z2*) = (5 - 7i)* = 5 + 7i

Теперь можем вычислить частное: z1 / z2 = (2 + 3i) * (5 + 7i) / ((5 - 7i) * (5 + 7i)) = (2 * 5) + (2 * 7i) + (3i * 5) + (3i * 7i) / (5 * 5) + (5 * 7i) - (7i * 5) - (7i * 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i^2 / 25 + 35i - 35i - 49i^2

Используя i^2 = -1, получаем: z1 / z2 = 10 + 14i + 15i + 21(-1) / 25 + 35i - 35i - 49(-1) = 10 + 14i + 15i - 21 / 25 + 49 = -11 + 29i / 74

Таким образом, сумма z1 и z2 равна 7 - 4i, разность равна -3 + 10i, произведение равно 31 + i, а частное равно -11 + 29i / 74.