Question

Докажите, что множество чисел вида , где k принадлежит N , счетно.

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим множество A, заданное в условии:

$A=\{\frac{1}{3k} :k \in \mathbb {N}\}$

и множество натуральных чисел ℕ. Замечу, что при любом k дробь вида $\frac{1}{3k}$ является несократимой, то есть если выписывать такие дроби, начиная с k = 1 и увеличивая каждый раз переменную k на 1, ни одна из них не повторится (так как знаменатель постоянно увеличивается).

Покажем, что между этими двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого всем дробям вида $\frac{1}{3k}$, где $k \in \mathbb {N}$, поставим в соответствие число $k$. С одной стороны, согласно построению каждой такой дроби будет соответствовать натуральное $k$, притом единственное. С другой стороны, для каждого натурального $k$ можно указать единственную (смотри замечание в предыдущем абзаце) дробь вида $\frac{1}{3k}$, и все они будут принадлежать множеству A, поскольку $k$ пробегает все натуральные значения. Итак, построенное соответствие действительно взаимно однозначное. А раз множество ℕ счетное, то и множество A также счетное.

Answer 2

Для доказательства того, что множество чисел вида , где k принадлежит N, является счетным, мы можем установить биекцию между этим множеством и множеством натуральных чисел N.

Предположим, что у нас есть множество чисел вида . Мы можем установить соответствие между каждым числом k и натуральным числом n следующим образом:

• k = 0 соответствует n = 1
• k = 1 соответствует n = 2
• k = 2 соответствует n = 3
• и так далее.

Таким образом, каждому числу вида мы можем сопоставить уникальное натуральное число n. Это означает, что каждому элементу из исходного множества соответствует единственный элемент из множества натуральных чисел.

Так как мы можем установить биекцию между этим множеством и множеством натуральных чисел, множество чисел вида является счетным.