Question

Cos^2-√3sinxcosx=0 как решить это уравнение?

Answer 1

Условие: cos²x - √3sin(x)·cosx = 0

Разобьём правую часть на множители. Приравняем каждый множитель к нулю и решим простые тригонометрические уравнения.

cos(x)(cosx-√3sinx) = 0

$\displaystyle \begin{bmatrix}\cos x=0\qquad \qquad \quad \\\cos x-\sqrt3 \sin x=0\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x=\pm \arccos (0)+2\pi n,n\in \mathbb{Z} \\\cos x=\sqrt3 \sin x\;|\!:\sin x\ne 0\end{matrix}$

Если sinx=0, то cosx = √3·0 = 0, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю. Поэтому делить на sinx можно.

$\displaystyle \begin{bmatrix}x=\pm \dfrac{\pi}2+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\\{\tt ctg}\, x=\sqrt3 \quad \qquad \quad \end{matrix}\; \begin{bmatrix}x=\pm \dfrac{\pi}2+2\pi n\qquad \quad \\x={\tt arcctg}\, (\sqrt3 )+\pi k\end{matrix}n,\!k\in \mathbb{Z}$

Ответ:  $\displaystyle x=\left \{ \pm \frac{\pi}2 +2\pi n;\dfrac{\pi }6+\pi k\right \},n,\!k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, вы можете использовать следующий подход:

1. Раскройте квадрат для cos^2(x), чтобы получить уравнение без квадратов: cos^2(x) - √3sin(x)cos(x) = 0 cos^2(x) - √3/2sin(2x) = 0

2. Замените sin(2x) на 2sin(x)cos(x), чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией: cos^2(x) - √3/2 * 2sin(x)cos(x) = 0 cos^2(x) - √3sin(x)cos(x) = 0

3. Факторизуйте уравнение, вынесите общий множитель: cos(x)(cos(x) - √3sin(x)) = 0

4. Решите два уравнения-фактора отдельно: a) cos(x) = 0 b) cos(x) - √3sin(x) = 0

5. Для уравнения a) cos(x) = 0 решение будет: x = π/2 + πn, где n - целое число

6. Для уравнения b) cos(x) - √3sin(x) = 0 приведите его к виду cos(x) = √3sin(x): tan(x) = √3

7. Найдите значения углов, у которых тангенс равен √3: x = π/3 + πn, где n - целое число

Таким образом, общее решение уравнения cos^2(x) - √3sin(x)cos(x) = 0 будет: x = π/2 + πn или x = π/3 + πn, где n - целое число.