Question

Помогите, пожалуйста! Найдите производную функции а) f(x) = (6/корень 3 степени от x) +3*корень 3 степени от x^4б) f(x) = ln (3+2x) в) f(x) = x√(x^2+2x+3)

Answer 1

Ответ:

$1) \: - \dfrac{ 2}{x \sqrt[3]{x} } + 4 \sqrt[3]{x}$

$2) \: \dfrac{2}{2x + 3}$

$3) \: \dfrac{5 {x}^{2} + 6x + 3}{2 \sqrt{x} }$

Объяснение:

1)

$f(x) = \dfrac{6}{ \sqrt[3]{x} } + 3 \sqrt[3]{ {x}^{4} }$

Согласно формулы (3):

$f'(x) = (6 {x}^{ - \frac{1}{3} } )' + (3 {x}^{ \frac{4}{3} } )'$

Далее согласно формуле (8):

$f'(x) = 6 \times ( - \frac{ 1}{3}) \times {x}^{ - \frac{4}{3} } + 3 \times \dfrac{4}{3} \times {x}^{ \frac{1}{3} } = - \dfrac{2}{x \sqrt[3]{x} } + 4 \sqrt[3]{x}$

2)

$f(x) = ln(3 + 2x)$

Сложная функция. Воспользуемся формулой (24), где f'(u)=ln(3+2x), u'(x)=(3+2x). Далее используем формулы (13), (1), (4)

$f'(x) = \dfrac{1}{2x + 3} \times (3 + 2x)' = \\ \\ = \dfrac{1}{2x + 3} \times (0 + 2) = \dfrac{2}{2x + 3}$

3)

$f(x) = \sqrt{x} ( {x}^{2} + 2x + 3)$

Используем формулу (5), где:

u = √x, v = (x²+2x+3).

$u' = ( \sqrt{x})'= \dfrac{1}{2 \sqrt{x} }$

$v'=( {x}^{2} + 2x + 3)' = 2x + 2$

Подставляем в формулу (5):

$f'(x) = u'v + uv'= \dfrac{1}{ 2\sqrt{x} } \times ( {x}^{2} + 2x + 3) + \sqrt{x} \times (2x + 2) = \\ \\ = \dfrac{{x}^{2} + 2x + 3}{2 \sqrt{x} } + 2x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} = \\ \\ = \dfrac{ {x}^{2} + 2x + 3 + 4 {x}^{2} + 4x}{2 \sqrt{x} } = \\ \\ = \dfrac{5 {x}^{2} + 6x + 3}{2 \sqrt{x} }$

Answer 2

Конечно, я могу помочь найти производные данных функций. Давайте рассмотрим каждую из них по отдельности:

а) Дана функция: f(x) = (6/∛x) + 3∛(x^4).

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Производная первого слагаемого (6/∛x) равна: f'(x) = -6/(3∛x^2) = -2/∛x^2.

Производная второго слагаемого 3∛(x^4) равна: f'(x) = 3 * (4x^3)^(2/3) * (2/3) * 4x^2 = 8x^2 * (4x^3)^(2/3) = 8x^2 * 2∛(x^4) = 16x^2∛(x^4).

Теперь мы можем сложить производные слагаемых, чтобы получить производную всей функции: f'(x) = -2/∛x^2 + 16x^2∛(x^4).

б) Дана функция: f(x) = ln(3 + 2x).

Производная логарифмической функции ln(3 + 2x) равна: f'(x) = (1/(3 + 2x)) * (2) = 2/(3 + 2x).

в) Дана функция: f(x) = x√(x^2 + 2x + 3).

Производная функции x√(x^2 + 2x + 3) может быть найдена с использованием правила производной произведения функций.

Применим это правило: f'(x) = (x)' * √(x^2 + 2x + 3) + x * (√(x^2 + 2x + 3))', где (√(x^2 + 2x + 3))' - производная корня.

Производная первого слагаемого (x)' равна: f'(x) = 1 * √(x^2 + 2x + 3) = √(x^2 + 2x + 3).

Производная второго слагаемого x * (√(x^2 + 2x + 3))' равна: f'(x) = x * (1/2) * (x^2 + 2x + 3)^(-1/2) * (2x + 2) = x(x + 1)/√(x^2 + 2x + 3).

Теперь мы можем сложить производные слагаемых, чтобы получить производную всей функции: f'(x) = √(x^2 + 2x + 3) + x(x + 1)/√(x^2 + 2x + 3).

Это является окончательным ответ