Question

Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной (–3; –20), проходящая через точку с координатами (–5; –12). Выберите формулу, задающую данную функцию.

Answer 1

Ответ:

$y=2x^{2} +12x-2.$

Объяснение:

Квадратичная функция задается уравнением

$y=ax^{2} +bx+c,$

где $a,b,c -$ некоторые числа.

Абсцисса вершины параболы определяется по формуле

$x{_0}= \dfrac{-b}{2a}$

По условию (-3;-20) - вершина параболы. Тогда

$x{_0}= -3$

И получим

$\dfrac{-b}{2a}=-3 ;\\b=6a$

Тогда квадратичная функция задается уравнением

$y=ax^{2} +6ax+c.$

Точки (-3;-20) и (-5; -12) принадлежат параболе. Поэтому подставим координаты данных точек в полученное уравнение и решим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} a\cdot( -3 )^{2} +6a\cdot(-3)+c=-20, \\ a\cdot(-5) ^{2} +6a\cdot( -5) +c=-12; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 9a -18a+c=-20, \\ 25a -30a +c=-12; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} -9a+c=-20, \\ -5a +c=-12; \end{array} \right.\Leftrightarrow\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 9a-c=20, \\ 5a -c=12; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} 4a=8, \\ 5a -c=12; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a=8:4, \\ 5a -c=12; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a=2, \\ 10 -c=12; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a=2, \\ c=-2. \end{array} \right.$

Значит, функция принимает вид:

$y=2x^{2} +12x-2.$

Answer 2

Для построения формулы квадратичной функции, зная координаты вершины и одну точку на графике, можно использовать формулу вида:

f(x) = a(x - h)^2 + k,

где (h, k) - координаты вершины параболы.

Исходя из данной информации, вершина параболы имеет координаты (-3, -20), поэтому h = -3 и k = -20. Также известно, что парабола проходит через точку (-5, -12).

Подставим эти значения в формулу:

f(x) = a(x - (-3))^2 + (-20), f(x) = a(x + 3)^2 - 20.

Теперь подставим координаты второй точки (-5, -12) и решим уравнение:

-12 = a(-5 + 3)^2 - 20, -12 = a(-2)^2 - 20, -12 = 4a - 20, 8 = 4a, a = 2.

Итак, формула, задающая данную квадратичную функцию, будет:

f(x) = 2(x + 3)^2 - 20.