Question

Найти интеграл dx/(sin^2xcos^2x)

Answer 1

Интеграл на фото. Удачи

Answer 2

Применим формулу синуса двойного аргумента 2sinx*cosx=sin2x, умножив на 4 числитель и знаменатель, в знаменателе получим sin²2x, и воспользуемся табличным интегралом ∫dx/sin²у=-сtgу+с, получим

∫dx/(sin²xcos²x)=4∫dx/(sin²2x)=2∫(d2x)/(sin²2x)=-2сtg2x+c;

Проверка (-2сtg2x+c)'=-2*(-1/sin²2x)*2=4/(4sin²x*cos²x)=1/(sin²xcos²x)

Answer 3

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать выражение под знаком дифференциала. Например, мы можем использовать тождество tan^2 x + 1 = sec^2 x, чтобы переписать знаменатель как:

sin^2 x cos^2 x = (sin^2 x)(1 - sin^2 x) = sin^2 x - sin^4 x

Теперь мы можем записать наш интеграл как:

∫ dx/(sin^2 x cos^2 x) = ∫ dx/ [sin^2 x (1 - sin^2 x)]

Далее мы можем разложить дробь на частные дроби, представив ее в виде:

1/(sin^2 x (1 - sin^2 x)) = A/sin^2 x + B/(1 - sin^2 x)

где A и B - некоторые константы, которые мы должны найти. Мы можем найти A и B, решив систему уравнений:

A + B = 0 (1) A - B = 1 (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что A = 1/2 и B = -1/2. Тогда мы можем записать наш интеграл как:

∫ dx/(sin^2 x cos^2 x) = 1/2 ∫ dx/sin^2 x - 1/2 ∫ dx/(1 - sin^2 x)

Первый интеграл мы можем вычислить, используя замену u = cos x, du = -sin x dx:

∫ dx/sin^2 x = -∫ du/u^2 = 1/u + C = 1/cos x + C

Второй интеграл мы можем переписать, используя тождество sin^2 x + cos^2 x = 1:

∫ dx/(1 - sin^2 x) = ∫ dx/cos^2 x = tan x + C

Таким образом, наш итоговый ответ:

∫ dx/(sin^2 x cos^2 x) = 1/2 (1/cos x - tan x) + C, где C - произвольная постоянная.