Question

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х0, если: а) f(x) =x^2+6x-7, x0=-2 ; б) f(x)=log3 x, x0=1; в) е^х, х0=2

Answer 1

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0: y = f'(x0)·(x-x0) + f(x0)

а) f(x) = x²+6·x-7, x0= -2:

f'(x) = (x²+6·x-7)'=2·x + 6,

f'(x0) = f'(-2) = 2·(-2)+6= -4+6= 2

f (x0) = f'(-2) = (-2)²+6·(-2)-7 = 4 - 12 - 7 = - 15.

Тогда

y = 2·(x-(-2)) -15 = 2·x +4 - 15 = 2·x - 11

и уравнение касательной имеет вид:

y = 2·x - 11.

б) f(x)=log₃x, x0=1:

f'(x) = (log₃x)' = 1/(x·ln3),

f'(x0) = f'(1) = 1/(1·ln3) =1/ln3 = log₃e,

f(x0) = f'(1) = log₃1 = 0.

Тогда

y = log₃e·(x-1) + 0 = log₃e·x - log₃e

и уравнение касательной имеет вид:

y = log₃e·x - log₃e.

в) f(x) = еˣ, x0=2:

f'(x) = (еˣ)' = еˣ,

f'(x0) = f'(2) = е²,

f(x0) = f(2) = e².

Тогда

y = e²·(x-2) + e² = e²·x-2·e² + e² = e²·x-e²

и уравнение касательной имеет вид:

y = e²·x-e².

Answer 2

а) Для функции f(x) = x^2 + 6x - 7 в точке x0 = -2, уравнение касательной можно найти, найдя производную функции и подставив x0: f'(x) = 2x + 6 (производная функции) Уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) y - f(-2) = f'(-2)(x - (-2)) y - (-11) = (2(-2) + 6)(x + 2) y + 11 = (-4 + 6)(x + 2) y + 11 = 2(x + 2) y + 11 = 2x + 4 y = 2x - 7

б) Для функции f(x) = log3(x) в точке x0 = 1, уравнение касательной можно найти, найдя производную функции и подставив x0: f'(x) = 1 / (x ln(3)) (производная функции) Уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) y - f(1) = f'(1)(x - 1) y - log3(1) = (1 / (1 ln(3)))(x - 1) y - 0 = (1 / (1 ln(3)))(x - 1) y = (1 / ln(3))(x - 1)

в) Для функции f(x) = e^x в точке x0 = 2, уравнение касательной можно найти, найдя производную функции и подставив x0: f'(x) = e^x (производная функции) Уравнение касательной: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) y - f(2) = f'(2)(x - 2) y - e^2 = e^2(x - 2) y - e^2 = e^2x - 2e^2 y = e^2x - 2e^2